(2,0 pts) - Assinale verdadeiro ou falso. Em seguida reescreva corretamente os enunciados falsos.
( ) A energia de um oscilador amortecido e nāo forçado decresce exponencialmente com o tempo.
( ) A amplitude de um oscilador harmônico simples decresce exponencialmente com o tempo.
( ) O fenômeno da ressonância em um sistema de oscilação forçada ocorre quando a frequência da for oscilante externa se aproxima da frequência natural do oscilador.
() Para um oscilador harmônico simples, a energia potencial é máxima quando o sistema se encontra posição de equilibrio (
)
( ) A energia de um oscilador amortecido e nāo forçado decresce exponencialmente com o tempo.
( ) A amplitude de um oscilador harmônico simples decresce exponencialmente com o tempo.
( ) O fenômeno da ressonância em um sistema de oscilação forçada ocorre quando a frequência da for oscilante externa se aproxima da frequência natural do oscilador.
() Para um oscilador harmônico simples, a energia potencial é máxima quando o sistema se encontra posição de equilibrio (
Passo 1
Você me deu quatro afirmativas e pediu para assinalar verdadeiro ou falso e, quando falso, reescrever corretamente o enunciado. As quatro afirmações são (vou reescrevê‑las aqui exatamente como vieram, só para ficar claro o que devemos julgar):
- “A energia de um oscilador amortecido e nāo forçado decresce exponencialmente com o tempo.”
- “A amplitude de um oscilador harmônico simples decresce exponencialmente com o tempo.”
- “O fenômeno da ressonância em um sistema de oscilação forçada ocorre quando a frequência da for oscilante externa se aproxima da frequência natural do oscilador.”
- “Para um oscilador harmônico simples, a energia potencial é máxima quando o sistema se encontra posição de equilibrio (
).”
Esses são os itens que vamos analisar, um por um. Agora começo a explicar e resolver passo a passo, com a teoria necessária bem mastigada.
Passo 2
Análise do item 1. Primeiro eu apresento a equação do oscilador linear com amortecimento viscoso e sem força externa:
Aqui
é a massa,
é o coeficiente de amortecimento (força proporcional à velocidade), e
é a constante elástica. Define‑se a frequência natural
e o parâmetro de amortecimento
por
No caso subamortecido (o mais comum em exemplos), a solução do movimento é
onde
é a frequência amortecida,
e
são constantes fixadas pelas condições iniciais. Note aqui que a “amplitude” do oscilador é a parte que multiplica o cosseno, ou seja,
: ela decai exponencialmente com taxa
.
A energia mecânica total do sistema é soma de energia cinética e potencial:
Para a solução acima, tanto
quanto
têm um fator
, de modo que
tem um fator
. Portanto, para esse modelo linear com amortecimento viscoso, a energia decresce exponencialmente no tempo, proporcional a
. Conclusão: a afirmativa 1 é verdadeira (no contexto do amortecimento viscoso linear usual).
Passo 3
Análise do item 2. Um oscilador harmônico simples significa “sem amortecimento e sem força externa”. A equação é
A solução geral é
onde
, e aqui
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais. Note que
é constante no tempo (não depende de
). Por isso a amplitude do movimento de um oscilador harmônico simples não decresce: ela permanece igual a
para todo
.
Outra maneira de ver: como não há dissipação de energia, a energia total
é constante:
e portanto a amplitude, relacionada a
, também é constante.
Conclusão: a afirmativa 2 é falsa. A forma correta é que a amplitude de um oscilador harmônico simples é constante no tempo (não decresce), salvo se houver amortecimento.
Passo 4
Análise do item 3. Agora o caso de oscilador forçado (com força externa periódica). A equação típica é
onde
é a amplitude da força externa e
a sua frequência. No regime estacionário (após decaimento das partes transientes), a resposta em amplitude do sistema é
Essa expressão mostra que a amplitude
atinge um valor máximo quando o denominador é mínimo; para amortecimento pequeno a máxima ocorre quando
está muito próxima de
. Por isso chamamos de ressonância o aumento acentuado da amplitude quando a frequência da força externa se aproxima da frequência natural do sistema. Observação técnica: para amortecimento não nulo o pico real ocorre ligeiramente deslocado de
, mas a ideia física do enunciado — que ressonância ocorre quando a frequência de excitação se aproxima da natural — está correta e é o fundamento do fenômeno.
Conclusão: a afirmativa 3 é verdadeira (em termos práticos e didáticos).
Passo 5
Análise do item 4. Para o oscilador harmônico simples a energia potencial elástica é
Essa função tem valor
. Ao aumentar
(isto é, afastar‑se da posição de equilíbrio
) a energia potencial cresce quadráticamente. Nos pontos de inversão do movimento (os extremos), onde
, a energia cinética é zero e toda a energia é potencial:
que é o valor máximo de energia potencial durante o movimento. Assim, a energia potencial é mínima em
e máxima nos pontos de maior deslocamento
. A afirmativa que diz que a energia potencial é máxima em
é portanto incorreta.
Conclusão: a afirmativa 4 é falsa. A correção direta é dizer que a energia potencial é mínima em
e máxima em
.
Resposta
(1) Verdadeiro.
(2) Falso — A amplitude de um oscilador harmônico simples é constante no tempo; ela não decresce exponencialmente (decai exponencialmente apenas em presença de amortecimento, quando
).
(3) Verdadeiro.
(4) Falso — Para um oscilador harmônico simples a energia potencial é dada por
; portanto
é mínima em
e é máxima nos pontos de maior deslocamento
.