(2,0 pts) - Assinale verdadeiro ou falso. Em seguida reescreva corretamente os enunciados falsos.
( ) A energia de um oscilador amortecido e nāo forçado decresce exponencialmente com o tempo.
( ) A amplitude de um oscilador harmônico simples decresce exponencialmente com o tempo.
( ) O fenômeno da ressonância em um sistema de oscilação forçada ocorre quando a frequência da for oscilante externa se aproxima da frequência natural do oscilador.
() Para um oscilador harmônico simples, a energia potencial é máxima quando o sistema se encontra posição de equilibrio ( x=0 )

Passo 1

Você me deu quatro afirmativas e pediu para assinalar verdadeiro ou falso e, quando falso, reescrever corretamente o enunciado. As quatro afirmações são (vou reescrevê‑las aqui exatamente como vieram, só para ficar claro o que devemos julgar):
  1. “A energia de um oscilador amortecido e nāo forçado decresce exponencialmente com o tempo.”
  2. “A amplitude de um oscilador harmônico simples decresce exponencialmente com o tempo.”
  3. “O fenômeno da ressonância em um sistema de oscilação forçada ocorre quando a frequência da for oscilante externa se aproxima da frequência natural do oscilador.”
  4. “Para um oscilador harmônico simples, a energia potencial é máxima quando o sistema se encontra posição de equilibrio ( x=0 ).”
Esses são os itens que vamos analisar, um por um. Agora começo a explicar e resolver passo a passo, com a teoria necessária bem mastigada.

Passo 2

Análise do item 1. Primeiro eu apresento a equação do oscilador linear com amortecimento viscoso e sem força externa:
m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = 0.
Aqui \,m é a massa, \,b é o coeficiente de amortecimento (força proporcional à velocidade), e \,k é a constante elástica. Define‑se a frequência natural \omega_0 e o parâmetro de amortecimento \gamma por
\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}},\qquad \gamma = \frac{b}{2m}.
No caso subamortecido (o mais comum em exemplos), a solução do movimento é
x(t) = A\,e^{-\gamma t}\cos(\omega_d t + \varphi),
onde \omega_d = \sqrt{\omega_0^2-\gamma^2} é a frequência amortecida, A e \varphi são constantes fixadas pelas condições iniciais. Note aqui que a “amplitude” do oscilador é a parte que multiplica o cosseno, ou seja, A e^{-\gamma t}: ela decai exponencialmente com taxa \gamma.
A energia mecânica total do sistema é soma de energia cinética e potencial:
E(t)=\frac{1}{2}m\dot{x}^2+\frac{1}{2}k x^2.
Para a solução acima, tanto x(t) quanto \dot{x}(t) têm um fator e^{-\gamma t}, de modo que E(t) tem um fator e^{-2\gamma t}. Portanto, para esse modelo linear com amortecimento viscoso, a energia decresce exponencialmente no tempo, proporcional a e^{-2\gamma t}. Conclusão: a afirmativa 1 é verdadeira (no contexto do amortecimento viscoso linear usual).

Passo 3

Análise do item 2. Um oscilador harmônico simples significa “sem amortecimento e sem força externa”. A equação é
m\ddot{x} + kx = 0.
A solução geral é
x(t) = A\cos(\omega_0 t + \varphi),
onde \omega_0=\sqrt{k/m}, e aqui A e \varphi são constantes determinadas pelas condições iniciais. Note que A é constante no tempo (não depende de t). Por isso a amplitude do movimento de um oscilador harmônico simples não decresce: ela permanece igual a A para todo t.
Outra maneira de ver: como não há dissipação de energia, a energia total E é constante:
E=\frac{1}{2}kA^2=\text{constante},
e portanto a amplitude, relacionada a A=\sqrt{2E/k}, também é constante.
Conclusão: a afirmativa 2 é falsa. A forma correta é que a amplitude de um oscilador harmônico simples é constante no tempo (não decresce), salvo se houver amortecimento.

Passo 4

Análise do item 3. Agora o caso de oscilador forçado (com força externa periódica). A equação típica é
m\ddot{x} + b\dot{x} + kx = F_0\cos(\omega t),
onde F_0 é a amplitude da força externa e \omega a sua frequência. No regime estacionário (após decaimento das partes transientes), a resposta em amplitude do sistema é
X(\omega)=\frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2 + (2\gamma\omega)^2}}.
Essa expressão mostra que a amplitude X(\omega) atinge um valor máximo quando o denominador é mínimo; para amortecimento pequeno a máxima ocorre quando \omega está muito próxima de \omega_0. Por isso chamamos de ressonância o aumento acentuado da amplitude quando a frequência da força externa se aproxima da frequência natural do sistema. Observação técnica: para amortecimento não nulo o pico real ocorre ligeiramente deslocado de \omega_0, mas a ideia física do enunciado — que ressonância ocorre quando a frequência de excitação se aproxima da natural — está correta e é o fundamento do fenômeno.
Conclusão: a afirmativa 3 é verdadeira (em termos práticos e didáticos).

Passo 5

Análise do item 4. Para o oscilador harmônico simples a energia potencial elástica é
U(x)=\frac{1}{2}k x^2.
Essa função tem valor U(0)=0. Ao aumentar |x| (isto é, afastar‑se da posição de equilíbrio x=0) a energia potencial cresce quadráticamente. Nos pontos de inversão do movimento (os extremos), onde x=\pm A, a energia cinética é zero e toda a energia é potencial:
U(\pm A)=\frac{1}{2}kA^2,
que é o valor máximo de energia potencial durante o movimento. Assim, a energia potencial é mínima em x=0 e máxima nos pontos de maior deslocamento x=\pm A. A afirmativa que diz que a energia potencial é máxima em x=0 é portanto incorreta.
Conclusão: a afirmativa 4 é falsa. A correção direta é dizer que a energia potencial é mínima em x=0 e máxima em x=\pm A.

Resposta

(1) Verdadeiro.
(2) Falso — A amplitude de um oscilador harmônico simples é constante no tempo; ela não decresce exponencialmente (decai exponencialmente apenas em presença de amortecimento, quando x(t)=A e^{-\gamma t}\cos(\cdots)).
(3) Verdadeiro.
(4) Falso — Para um oscilador harmônico simples a energia potencial é dada por U(x)=\tfrac{1}{2}k x^2; portanto U é mínima em x=0 e é máxima nos pontos de maior deslocamento x=\pm A.

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