(3,0 \mathrm{Pt}).A porta de uma câmara fria tem as seguintes dimensões: 3,15 \mathrm{~m} de altura e 1,77 \mathrm{~m} de largura. É aberta e fechada no minimo cinco vezes a cada hora e permanece aberta no minimo 1 min a cada abertura. Calcular: (a) a taxa de perda de calor devida à abertura da porta, para manter a temperatura interna da câmara de 0^{\circ} \mathrm{C} e considerando a temperatura externa média de 29,4{ }^{\circ} \mathrm{C}; (b) o calor perdido através da porta em 1 h .

Passo 1

Vamos entender bem o que o enunciado dá e o que pede. Dados e pedidos:
  • Dimensões da porta: altura H=3,15\\ \mathrm{m} e largura W=1,77\\ \mathrm{m}.
  • A porta é aberta e fechada, no mínimo, cinco vezes por hora.
  • Em cada abertura a porta permanece aberta, no mínimo, 1\\ \mathrm{min}.
  • Temperatura interna desejada: 0^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura externa média: 29,4^\circ\mathrm{C}.
Perguntas:
(a) Calcular a taxa de perda de calor devida à abertura da porta (isto é, a potência térmica durante o tempo em que a porta está aberta), para manter \,0^\circ\mathrm{C} dentro, com temperatura externa 29,4^\circ\mathrm{C}.
(b) Calcular o calor (energia) perdido através da porta em 1\\ \mathrm{h}.

Passo 2

Escolha do modelo e hipótese necessária (sem dados extras do enunciado):
Quando a porta fica aberta, o principal mecanismo de troca entre o ar interno e o ar externo é convecção e mistura de ar; uma forma simples e comum de estimar a perda é usar a lei da convecção Newtoniana:
\dot{Q}=h_c\,A\,\Delta T,
onde:
  • \dot{Q} é a taxa de transferência de calor (potência, em \mathrm{W}),
  • h_c é o coeficiente convectivo efetivo ( \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}),
  • A é a área da abertura ( \mathrm{m^2}),
  • \Delta T é a diferença de temperatura entre fora e dentro (em K ou °C).
O enunciado não fornece h_c. Vou assumir um valor típico para convecção natural/semiforçada de ar em aberturas: h_c=10\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}. Justificativa curta: valores típicos para convecção natural em superfícies verticais ficam entre 5 e 10\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}; para portas abertas com algum movimento de ar, 10 é uma escolha razoável e simples para estimativa em prova. Se você tiver outro valor recomendado pelo professor, basta substituir.

Passo 3

Calcule a área da porta A. A área é altura vezes largura:
A = H\cdot W.
Substituindo H=3,15\\ \mathrm{m} e W=1,77\\ \mathrm{m}:
A = 3,15 \times 1,77.
Faço a multiplicação passo a passo:
3,15\times 1,77 = 3,15\times(1,70+0,07)=3,15\times1,70 + 3,15\times0,07.
3,15\times1,70 = 5,355,\qquad 3,15\times0,07=0,2205.
Logo
A = 5,355 + 0,2205 = 5,5755\\ \mathrm{m^2}.

Passo 4

Calcule a diferença de temperatura \Delta T:
\Delta T = T_{\text{externo}}-T_{\text{interno}} = 29,4^\circ\mathrm{C} - 0^\circ\mathrm{C} = 29,4\\ \mathrm{K}.
Observação: diferença de temperatura em °C e em K são numericamente iguais.

Passo 5

Agora aplico a fórmula da convecção para obter a taxa de perda de calor enquanto a porta está aberta:
\dot{Q}=h_c\,A\,\Delta T.
Substituindo h_c=10\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}, A=5,5755\\ \mathrm{m^2} e \Delta T=29,4\\ \mathrm{K}:
\dot{Q}=10\times 5,5755 \times 29,4.
Calculo em etapas:
5,5755\times 29,4 = 5,5755\times(30-0,6)=5,5755\times30 - 5,5755\times0,6.
5,5755\times30 = 167,265,\qquad 5,5755\times0,6=3,3453.
5,5755\times29,4 = 167,265 - 3,3453 = 163,9197.
Portanto
\dot{Q}=10\times 163,9197 = 1639,197\\ \mathrm{W}\approx 1{,}64\\ \mathrm{kW}.
Interpretação: essa é a taxa (potência) de calor que entra enquanto a porta está aberta.

Passo 6

Calcular o calor perdido em 1\\ \mathrm{h}. Primeiro, determine o tempo total em que a porta permanece aberta por hora:
\text{nº aberturas por hora}=5,\qquad \text{tempo por abertura}=1\\ \mathrm{min}.º
Tempo total aberto por hora:
t_{\text{aberto}} = 5\times 1\\ \mathrm{min} = 5\\ \mathrm{min} = 5\times 60\\ \mathrm{s} = 300\\ \mathrm{s}.
Energia perdida (em joules) é potência vezes tempo (em segundos):
Q = \dot{Q}\times t_{\text{aberto}} = 1639{,}197\\ \mathrm{W}\times 300\\ \mathrm{s}.
Q = 491759{,}1\\ \mathrm{J}.
É comum também expressar energia em quilojoules e em kWh:
Q = 491{,}759\\ \mathrm{kJ}\approx 491{,}8\\ \mathrm{kJ}.
Em \mathrm{kWh}:
1\\ \mathrm{kWh}=3{,}6\times 10^{6}\\ \mathrm{J},\quad Q_{\mathrm{kWh}}=\frac{491759{,}1}{3{,}6\times 10^{6}}\approx 0{,}1366\\ \mathrm{kWh}.

Passo 7

Resumo e observações finais rápidas (motivação para prova):
  • Resultado é uma estimativa baseada em h_c=10\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}. Se você usar h_c diferente, basta refazer \dot{Q}=h_c A \Delta T.
  • Para maior precisão em problemas reais seria necessário modelar a infiltração de ar (troca de massa), velocidade do vento, correntes internas, etc., mas essa abordagem vale para uma prova e dá um número prático e razoável.

Resposta

(a) \dot{Q}\approx 1{,}64\\ \mathrm{kW}.
(b) Q\approx 491{,}8\\ \mathrm{kJ} (ou 0{,}1366\\ \mathrm{kWh}).

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