\int_{1}^{2}\left(\frac{x^{3}-x^{2}+2}{x^{2}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2}\left(\frac{x^{3}-x^{2}+2}{x^{2}}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • Limites de integração: \,1 (inferior) e \,2 (superior).
  • Integrando: a função racional \displaystyle \frac{x^{3}-x^{2}+2}{x^{2}}.
    A tarefa é avaliar essa integral e obter um número.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar o integrando dividindo cada termo do numerador por x^{2}. Isso torna a integral mais fácil de integrar term a term.
\frac{x^{3}-x^{2}+2}{x^{2}}=\frac{x^{3}}{x^{2}}-\frac{x^{2}}{x^{2}}+\frac{2}{x^{2}}.
Agora calcule cada divisão:
\frac{x^{3}}{x^{2}}=x,\qquad \frac{x^{2}}{x^{2}}=1,\qquad \frac{2}{x^{2}}=2x^{-2}.
Logo o integrando simplificado é
x-1+2x^{-2}.

Passo 3

Usamos a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais e constantes saem da integral. Ou seja,
\int_{1}^{2}\bigl(x-1+2x^{-2}\bigr)\,dx = \int_{1}^{2}x\,dx-\int_{1}^{2}1\,dx+2\int_{1}^{2}x^{-2}\,dx.
Explicando rapidamente: linearidade significa que podemos tratar cada parcela separadamente — isso facilita muito na prova.

Passo 4

Agora aplicamos a regra de potência para primitiva (antiderivada). A regra diz que, para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando termo a termo:
  • Para \int x\,dx, aqui n=1, então \int x\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}.
  • Para \int 1\,dx, é \int x^{0}\,dx = x, logo \int 1\,dx = x.
  • Para \int x^{-2}\,dx, aqui n=-2, então \int x^{-2}\,dx=\dfrac{x^{-1}}{-1}=-x^{-1}.
    Combinando e lembrando do fator 2 do terceiro termo:
\int\bigl(x-1+2x^{-2}\bigr)\,dx=\frac{x^{2}}{2}-x-2x^{-1}+C.
Podemos também escrever x^{-1} como \dfrac{1}{x}, ficando a primitiva
F(x)=\frac{x^{2}}{2}-x-\frac{2}{x}+C.

Passo 5

Para a integral definida usamos F(2)-F(1). Primeiro calcule F(2):
F(2)=\frac{2^{2}}{2}-2-\frac{2}{2}.
Calcule cada termo:
\frac{2^{2}}{2}=\frac{4}{2}=2,\qquad -2=-2,\qquad -\frac{2}{2}=-1.
Somando:
F(2)=2-2-1=-1.

Passo 6

Agora calcule F(1):
F(1)=\frac{1^{2}}{2}-1-\frac{2}{1}.
Calcule cada termo:
\frac{1^{2}}{2}=\frac{1}{2},\qquad -1=-1,\qquad -\frac{2}{1}=-2.
Somando:
F(1)=\frac{1}{2}-1-2=\frac{1}{2}-3=\,-\frac{5}{2}.

Passo 7

Subtraia F(2)-F(1):
\int_{1}^{2}\left(\frac{x^{3}-x^{2}+2}{x^{2}}\right)\,dx=F(2)-F(1) = -1 -\left(-\frac{5}{2}\right).
Isso é
-1 + \frac{5}{2} = \frac{-2}{2}+\frac{5}{2}=\frac{3}{2}.

Passo 8

Resumo do método — dica para a prova: quando aparecer fração de polinômios e o denominador for uma potência simples como x^{2}, divida termo a termo para obter potências de x. Em seguida use linearidade e a regra de potência para integrar. Avalie a primitiva nos limites e subtraia. Fazendo assim você evita trocas de método e economiza tempo. Você tá indo bem — respira fundo e repete esse padrão nas próximas.

Resposta

\frac{3}{2}

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