\int_{0}^{2 \pi} \sin x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \sin x\,dx.\n
Informações dadas:
  • A função integranda é \sin x.\n
  • O intervalo de integração é [0,2\pi].\n
    Pergunta: qual é o valor numérico de \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \sin x\,dx?

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado com calma): se uma função F tem derivada F'(x)=f(x) para todo x no intervalo, então chamamos F de primitiva (ou antiderivada) de f. O Teorema Fundamental do Cálculo diz que, para uma primitiva F de f,
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Aqui:
  • f(x) é a função que estamos integrando ( \sin x no nosso caso);\n
  • F é qualquer primitiva de f;\n
  • a e b são os limites de integração (aqui a=0 e b=2\pi).\n
    Ou seja: achar a integral definida equivale a encontrar uma primitiva e avaliá‑la nos extremos.

Passo 3

Achar uma primitiva de \sin x. Vamos buscar uma função F(x) tal que F'(x)=\sin x. Sabemos que a derivada de \cos x é \dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x. Portanto, se tomarmos F(x) = -\cos x, sua derivada é
F'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-\cos x\bigr) = -\bigl(-\sin x\bigr) = \sin x.
Logo F(x) = -\cos x é uma primitiva de \sin x.

Passo 4

Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo com F(x)=-\cos x, a=0, b=2\pi:
\int_{0}^{2\pi} \sin x\,dx = F(2\pi) - F(0) = \bigl(-\cos(2\pi)\bigr) - \bigl(-\cos(0)\bigr).
Calculemos os cossenos:
\cos(0)=1 e \cos(2\pi)=1. Substituindo:
\int_{0}^{2\pi} \sin x\,dx = (-1) - (-1) = 0.

Passo 5

Intuição geométrica (rubrica rápida para lembrar na prova): o gráfico de \sin x no intervalo [0,2\pi] é positivo em (0,\pi) e negativo em (\pi,2\pi), e as áreas positivas e negativas têm mesma magnitude porque a função é periódica e simétrica nesse intervalo. Então as áreas se cancelam, resultando em integral zero — isso confirma o cálculo anterior.

Resposta

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