Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função integranda é
.\n - O intervalo de integração é
.\n
Pergunta: qual é o valor numérico de?
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado com calma): se uma função
tem derivada
para todo
no intervalo, então chamamos
de primitiva (ou antiderivada) de
. O Teorema Fundamental do Cálculo diz que, para uma primitiva
de
,
Aqui:
-
é a função que estamos integrando ( no nosso caso);\n -
é qualquer primitiva de ;\n -
e são os limites de integração (aqui e ).\n
Ou seja: achar a integral definida equivale a encontrar uma primitiva e avaliá‑la nos extremos.
Passo 3
Achar uma primitiva de
. Vamos buscar uma função
tal que
. Sabemos que a derivada de
é
. Portanto, se tomarmos
, sua derivada é
Logo
é uma primitiva de
.
Passo 4
Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo com
,
,
:
Calculemos os cossenos:
e
. Substituindo:
Passo 5
Intuição geométrica (rubrica rápida para lembrar na prova): o gráfico de
no intervalo
é positivo em
e negativo em
, e as áreas positivas e negativas têm mesma magnitude porque a função é periódica e simétrica nesse intervalo. Então as áreas se cancelam, resultando em integral zero — isso confirma o cálculo anterior.