( 0,5 \mathrm{pt} ) Determine as coordenadas do vetor v=(1,2) \in \mathbb{R}^{2} em relação à base B=\{(1,1),(1,-1)\}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado o vetor \,v=(1,2)\in\mathbb{R}^2.
  • Dada a base B=\{(1,1),(1,-1)\}. Vou chamar os vetores da base de b_1=(1,1) e b_2=(1,-1).
  • O enunciado pede: determinar as coordenadas de v em relação à base B; isto é, encontrar escalares \alpha e \beta tais que v=\alpha b_1+\beta b_2.

Passo 2

O que significa "coordenadas de v em relação à base B"? Significa exatamente achar os números \alpha e \beta (únicos) que tornam verdadeira a igualdade
v=\alpha b_1+\beta b_2.
Cada coordenada corresponde ao quanto de cada vetor da base é necessário para recompor v. Como trabalhamos em \mathbb{R}^2, escrever essa igualdade componente a componente transforma-se num sistema de duas equações lineares em \alpha e \beta.

Passo 3

Escrevendo v=\alpha b_1+\beta b_2 com as componentes:
(1,2)=\alpha(1,1)+\beta(1,-1).
Agora faço a soma componente a componente no lado direito:
\alpha(1,1)+\beta(1,-1)=(\alpha+\beta,\;\alpha-\beta).
Portanto, igualando componente a componente, obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha+\beta=1,\\[4pt] \alpha-\beta=2. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema de maneira simples (eliminação por adição). Somando as duas equações:
(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)=1+2 \quad\Rightarrow\quad 2\alpha=3.
Logo
\alpha=\tfrac{3}{2}.
Substituo em \alpha+\beta=1 para achar \beta:
\tfrac{3}{2}+\beta=1 \quad\Rightarrow\quad \beta=1-\tfrac{3}{2}=-\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Verificação rápida (sempre bom fazer na prova): calcular \alpha b_1+\beta b_2 com os valores encontrados:
\tfrac{3}{2}(1,1)+\Big(-\tfrac{1}{2}\Big)(1,-1)=\big(\tfrac{3}{2}-\tfrac{1}{2},\;\tfrac{3}{2}+\tfrac{1}{2}\big)=(1,2),
que é exatamente v. Portanto as coordenadas estão corretas.

Resposta

\displaystyle \left(\tfrac{3}{2},-\tfrac{1}{2}\right)

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