(
) Determine as coordenadas do vetor
em relação à base
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado o vetor
. - Dada a base
. Vou chamar os vetores da base de e . - O enunciado pede: determinar as coordenadas de
em relação à base ; isto é, encontrar escalares e tais que .
Passo 2
O que significa "coordenadas de
em relação à base
"? Significa exatamente achar os números
e
(únicos) que tornam verdadeira a igualdade
Cada coordenada corresponde ao quanto de cada vetor da base é necessário para recompor
. Como trabalhamos em
, escrever essa igualdade componente a componente transforma-se num sistema de duas equações lineares em
e
.
Passo 3
Escrevendo
com as componentes:
Agora faço a soma componente a componente no lado direito:
Portanto, igualando componente a componente, obtemos o sistema
Passo 4
Resolver o sistema de maneira simples (eliminação por adição). Somando as duas equações:
Logo
Substituo em
para achar
:
Passo 5
Verificação rápida (sempre bom fazer na prova): calcular
com os valores encontrados:
que é exatamente
. Portanto as coordenadas estão corretas.