(ii) (1,0 ponto) Classifique a cônica apresentando os argumentos pertinentes.
(iii) (1,0 ponto) Determine uma matriz \mathbf{P} tal que \mathbf{P}^{T} \mathbf{M P}=\mathbf{D}.
Passo 1
O enunciado dá a cônica
3x^{2}-4\sqrt{2}\,xy-y^{2}+20y-25=0
e pede três coisas:
(i) escrever a equação na forma matricial \mathbf{X}^{T}\mathbf{M}\mathbf{X}+\mathbf{L}\mathbf{X}+\mathbf{F}=\mathbf{0};
(ii) classificar a cônica e apresentar argumentos;
(iii) determinar uma matriz \mathbf{P} tal que \mathbf{P}^{T}\mathbf{M}\mathbf{P}=\mathbf{D} (ou seja, diagonalizar simetricamente \mathbf{M}).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Coeficiente de x^{2} é 3.
Coeficiente de xy é -4\sqrt{2}.
Coeficiente de y^{2} é -1.
Coeficiente de x é 0.
Coeficiente de y é 20.
Termo constante é -25.
Passo 2
Construção da forma matricial. Vou usar a convenção habitual
\mathbf{X}=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{X}^{T}\mathbf{M}\mathbf{X}=A x^{2}+2B xy + C y^{2}, \qquad \mathbf{L}\mathbf{X}=L_{1}x+L_{2}y.
Como o termo xy na equação é -4\sqrt{2}\,xy, tem-se 2B=-4\sqrt{2}\Rightarrow B=-2\sqrt{2}. Portanto os coeficientes A,B,C são A=3, B=-2\sqrt{2}, C=-1.
Classificação da cônica. Método usado: para a cônica geral
A x^{2}+B' xy + C y^{2} + D x + E y + F=0
(o meu B' é o coeficiente do termo xy, aqui B'=-4\sqrt{2}), a quantidade discriminante clássica é
\Delta_{\text{conica}} = {B'}^{2}-4AC.
Se \Delta_{\text{conica}}<0 temos elipse (ou círculo ou ponto vazio), se >0 temos hipérbole, se =0 parábola (assumindo que não ocorrem degenerações especiais). Aplicando aos nossos valores A=3, B'=-4\sqrt{2}, C=-1:
Portanto, pela regra acima, a cônica é uma hipérbole.
Complemento (argumento alternativo, útil para a prova): olhar a matriz \mathbf{M}. Se \mathbf{M} tem autovalores de sinais opostos (um positivo e outro negativo), a forma quadrática \mathbf{X}^{T}\mathbf{M}\mathbf{X} tem sinais trocados e a cônica é hipérbole. Mais adiante diagonalizamos \mathbf{M} e vemos que os autovalores são 1+2\sqrt{3} e 1-2\sqrt{3}, de sinais opostos, confirmando a hipérbole.
Passo 4
Diagonalização simétrica de \mathbf{M}: cálculo dos autovalores. Para \mathbf{M}=\begin{pmatrix}3 & -2\sqrt{2}\\[4pt]-2\sqrt{2} & -1\end{pmatrix} a equação característica é
Como \mathbf{M} é simétrica, esses autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais; ao normalizá-los obtemos uma matriz ortogonal \mathbf{P}=[\,\mathbf{p}_{1}\\ \mathbf{p}_{2}\,] que diagonaliza \mathbf{M} por congruência:
Verificação conceitual: pelas propriedades de autovetores/autovalores de matrizes simétricas, \mathbf{P} é ortogonal (\mathbf{P}^{T}\mathbf{P}=\mathbf{I}) e \mathbf{P}^{T}\mathbf{M}\mathbf{P}=\mathbf{D}.]