(1,0 pt) Considere
uma aplicação dada por
Mostre que
é uma transformação linear.
Passo 1
O enunciado dá a aplicação
definida por
O que se pede: mostrar que
é uma transformação linear (ou seja, provar que
preserva soma de vetores e multiplicação por escalar).
Informações relevantes dadas:
- Domínio:
. - Contradomínio:
. - Regra explícita: para qualquer tripla
, a imagem é o par .
Passo 2
Definição que vou usar (explicada de forma simples): uma aplicação
é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, valem as duas propriedades:
e
Aqui,
é a soma componente a componente em
e
é a multiplicação de todas as componentes de
por
. Vou provar essas duas igualdades diretamente usando a expressão dada para
.
Passo 3
Vamos tomar vetores genéricos em
:
e um escalar
. Primeiro trato da propriedade de aditividade
.
Passo 4
Calcular
e aplicar
:
Aplicando a regra de
,
Agora desenvolvo as expressões somando termos semelhantes:
Repare que os pares entre parênteses são exatamente
e
, pois
Portanto
Assim a propriedade de aditividade está provada.
Passo 5
Agora a homogeneidade: calcular
. Primeiro
Aplicando
,
Fatorando
em cada componente:
Isso é exatamente
vezes o vetor
, ou seja
Logo a propriedade de homogeneidade também vale.
Passo 6
Como ambas as propriedades (aditividade e homogeneidade) foram verificadas para vetores arbitrários
e escalar arbitrário
, concluímos que
é linear.
Bônus (interpretação útil na prova): pode-se ver
como multiplicação por uma matriz
. De fato,
e para qualquer
tem-se
Multiplicação por matriz é uma forma direta de ver linearidade (mas a prova acima já é suficiente).]