(1,0 pt) Considere F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma aplicação dada por
F(x, y, z)=(x-y+z, 2 x+y) .
Mostre que F é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado dá a aplicação F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 definida por
F(x,y,z)=(x-y+z,\;2x+y).
O que se pede: mostrar que F é uma transformação linear (ou seja, provar que F preserva soma de vetores e multiplicação por escalar).
Informações relevantes dadas:
  • Domínio: \mathbb{R}^3.
  • Contradomínio: \mathbb{R}^2.
  • Regra explícita: para qualquer tripla (x,y,z)\in\mathbb{R}^3, a imagem é o par (x-y+z,\;2x+y).

Passo 2

Definição que vou usar (explicada de forma simples): uma aplicação F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^3 e qualquer escalar \alpha\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
F(u+v)=F(u)+F(v)
e
F(\alpha u)=\alpha F(u).
Aqui, u+v é a soma componente a componente em \mathbb{R}^3 e \alpha u é a multiplicação de todas as componentes de u por \alpha. Vou provar essas duas igualdades diretamente usando a expressão dada para F.

Passo 3

Vamos tomar vetores genéricos em \mathbb{R}^3:
u=(x_1,y_1,z_1),\qquad v=(x_2,y_2,z_2),
e um escalar \alpha\in\mathbb{R}. Primeiro trato da propriedade de aditividade F(u+v)=F(u)+F(v).

Passo 4

Calcular u+v e aplicar F:
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2).
Aplicando a regra de F,
F(u+v)=\bigl((x_1+x_2)-(y_1+y_2)+(z_1+z_2),\;2(x_1+x_2)+(y_1+y_2)\bigr).
Agora desenvolvo as expressões somando termos semelhantes:
F(u+v)=\bigl((x_1-y_1+z_1)+(x_2-y_2+z_2),\;(2x_1+y_1)+(2x_2+y_2)\bigr).
Repare que os pares entre parênteses são exatamente F(u) e F(v), pois
F(u)=(x_1-y_1+z_1,\;2x_1+y_1),\qquad F(v)=(x_2-y_2+z_2,\;2x_2+y_2).
Portanto
F(u+v)=F(u)+F(v).
Assim a propriedade de aditividade está provada.

Passo 5

Agora a homogeneidade: calcular F(\alpha u). Primeiro
\alpha u=(\alpha x_1,\;\alpha y_1,\;\alpha z_1).
Aplicando F,
F(\alpha u)=\bigl(\alpha x_1-\alpha y_1+\alpha z_1,\;2(\alpha x_1)+\alpha y_1\bigr).
Fatorando \alpha em cada componente:
F(\alpha u)=\bigl(\alpha(x_1-y_1+z_1),\;\alpha(2x_1+y_1)\bigr).
Isso é exatamente \alpha vezes o vetor F(u)=(x_1-y_1+z_1,\;2x_1+y_1), ou seja
F(\alpha u)=\alpha F(u).
Logo a propriedade de homogeneidade também vale.

Passo 6

Como ambas as propriedades (aditividade e homogeneidade) foram verificadas para vetores arbitrários u,v\in\mathbb{R}^3 e escalar arbitrário \alpha, concluímos que F é linear.
Bônus (interpretação útil na prova): pode-se ver F como multiplicação por uma matriz A\in\mathbb{R}^{2\times3}. De fato,
A=\begin{pmatrix}1 & -1 & 1\\[4pt] 2 & 1 & 0\end{pmatrix},
e para qualquer (x,y,z) tem-se
F(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\\[2pt] y\\[2pt] z\end{pmatrix}.
Multiplicação por matriz é uma forma direta de ver linearidade (mas a prova acima já é suficiente).]

Resposta

F é uma transformação linear.

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