Mostre que (f] năo é integrável.
Passo 1
O enunciado dá a função
A pergunta é: mostrar que
. Vou assumir que
(caso
o intervalo é degenerado e a integral é trivialmente
— depois eu comento isso).
As informações relevantes que temos são:
- O domínio é o intervalo
com . - Em qualquer ponto racional
de vale . - Em qualquer ponto irracional
de vale .]
Passo 2
Antes de calcular qualquer coisa, vou explicar as definições que vamos usar (tudo bem explicado, passo a passo).
Definição de partição: uma partição
de
é uma sequência
. Cada intervalo
é um subintervalo.
Em cada subintervalo
definimos:
- o ínfimo de
nesse subintervalo, isto é ; - o supremo de
nesse subintervalo, isto é .
A soma inferior (lower sum) relativa à partição
é
A soma superior (upper sum) relativa à partição
é
Critério de integrabilidade que usaremos (explicado em palavras): a função
é integrável em
se e somente se for possível, para todo
, escolher uma partição
tal que
. Outra forma equivalente de dizer é:
é integrável se o ínfimo de todas as somas superiores for igual ao supremo de todas as somas inferiores.
Vou usar essas definições para mostrar que não conseguimos tornar
pequeno.
Passo 3
Um fato chave que precisamos: em qualquer subintervalo não degenerado
(isto é, com
) existem números racionais e números irracionais. Vou justificar isso de maneira construtiva.
Provar que existe racional em
: usando a propriedade arquimediana, existe inteiro
tal que
. Então existem inteiros
tais que
(basta tomar
como o inteiro imediatamente maior que
). Assim
é racional e fica em
.
Provar que existe irracional em
: ache primeiro um racional
como acima. Tome a constante
(irracional) e escolha inteiro
suficientemente grande tal que
Isto é possível porque
quando
. Então
é soma de racional com irracional, logo é irracional, e está em
. Assim há irracionais também.
Portanto, todo subintervalo
com
contém pelo menos um racional e pelo menos um irracional.
Passo 4
Com o passo anterior em mãos, agora determinamos os supremos e ínfimos de
em qualquer subintervalo
não degenerado.
Lembre-se do que são supremo e ínfimo: o supremo de um conjunto é o menor dos limites superiores (a menor cota superior), e o ínfimo é a maior das cotas inferiores.
No nosso caso, porque cada subintervalo contém algum racional
com
, qualquer cota superior de valores de
naquele subintervalo tem que ser pelo menos
. Como
é de fato um valor atingido, o supremo é exatamente
. Logo
Porque cada subintervalo contém algum irracional
com
, qualquer cota inferior tem que ser no máximo
. Como
é valor atingido, o ínfimo é exatamente
. Logo
Esses dois fatos valem para todo subintervalo não degenerado do partition.
Passo 5
Agora calculamos as somas superior e inferior para uma partição arbitrária
. Como em cada subintervalo
temos
e
, então
para a soma superior:
para a soma inferior:
Observe que essas fórmulas não dependem da escolha da partição
: para qualquer partição válida obtemos sempre
e
.
Passo 6
Pelo critério de integrabilidade, para que
fosse integrável teríamos que conseguir, dado
, escolher uma partição
tal que
. Mas, pelo passo anterior, para qualquer partição
vale
Se
então
. Assim não há como tornar
menor que um número positivo fixo
; em particular, não podemos torná-lo arbitrariamente pequeno. Portanto
não satisfaz o critério de integrabilidade e não é integrável em
.
(Fato adicional e tranquilizador: se
então o intervalo tem comprimento zero e as somas triviais dão integral
. Mas para qualquer intervalo não degenerado
a função não é integrável.)