(2,0 pts) Seja f integrável em [a, b] e tal que 0 \leq m \leq f(x) \leq M, para todo x \in|a, b|. Mostre que
m \leq\left[\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f^{2}(x) d x\right]^{\frac{1}{2}} \leq M

Passo 1

O enunciado dá uma função f integrável em [a,b] e constantes m e M tais que 0 \leq m \leq f(x) \leq M para todo x\in[a,b]. Pede-se para mostrar a desigualdade
m \leq \left[\frac{1}{b-a}\int_a^b f^2(x)\,dx\right]^{\frac{1}{2}} \leq M.
Informações relevantes listadas:
  • f é integrável em [a,b].
  • Para todo x\in[a,b] vale 0\le m \le f(x) \le M.
  • Presume-se b>a (caso contrário \frac{1}{b-a} não faz sentido).
    A resolução começa a partir dessas informações.

Passo 2

Primeira observação elementar sobre desigualdades e potências: como m\ge 0 e f(x)\ge m, ao elevar ao quadrado a desigualdade \,m\le f(x)\le M, a ordem é preservada (a função t\mapsto t^2 é crescente em [0,\infty)). Logo, para todo x\in[a,b] temos
m^2 \le f^2(x) \le M^2.
Explico: se 0\le u\le v então u^2\le v^2. Aqui aplicamos com u=m e v=f(x), e também com u=f(x) e v=M.

Passo 3

Agora usamos uma propriedade básica da integral: se duas funções integráveis g e h satisfazem g(x)\le h(x) para todo x no intervalo, então
\int_a^b g(x)\,dx \le \int_a^b h(x)\,dx.
Aplicando isso à desigualdade do Passo 2 (todas as funções são integráveis: f^2 é integrável porque f é integrável e limitada), obtemos
\int_a^b m^2\,dx \le \int_a^b f^2(x)\,dx \le \int_a^b M^2\,dx.

Passo 4

Calcule as integrais constantes do passo anterior: integrar uma constante c em [a,b] c(b-a). Assim
m^2(b-a) \le \int_a^b f^2(x)\,dx \le M^2(b-a).

Passo 5

Dividindo toda a desigualdade por b-a>0 (lembre que assumimos b>a), temos
m^2 \le \frac{1}{b-a}\int_a^b f^2(x)\,dx \le M^2.

Passo 6

Por fim, aplicamos a função raiz quadrada em todos os membros. A função \sqrt{\cdot} é crescente em [0,\infty), e aqui todos os termos são não negativos, então a desigualdade se preserva ao tomar raiz quadrada:
m \le \left[\frac{1}{b-a}\int_a^b f^2(x)\,dx\right]^{\frac{1}{2}} \le M.
Isso é exatamente o que se pedia.

Resposta

m \leq\left[\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f^{2}(x) \,dx\right]^{\frac{1}{2}} \leq M

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