(2,0 pts) Seja
integrável em
e tal que
, para todo
. Mostre que
Passo 1
O enunciado dá uma função
integrável em
e constantes
e
tais que
para todo
. Pede-se para mostrar a desigualdade
Informações relevantes listadas:
-
é integrável em . - Para todo
vale . - Presume-se
(caso contrário não faz sentido).
A resolução começa a partir dessas informações.
Passo 2
Primeira observação elementar sobre desigualdades e potências: como
e
, ao elevar ao quadrado a desigualdade
, a ordem é preservada (a função
é crescente em
). Logo, para todo
temos
Explico: se
então
. Aqui aplicamos com
e
, e também com
e
.
Passo 3
Agora usamos uma propriedade básica da integral: se duas funções integráveis
e
satisfazem
para todo
no intervalo, então
Aplicando isso à desigualdade do Passo 2 (todas as funções são integráveis:
é integrável porque
é integrável e limitada), obtemos
Passo 4
Calcule as integrais constantes do passo anterior: integrar uma constante
em
dá
. Assim
Passo 5
Dividindo toda a desigualdade por
(lembre que assumimos
), temos
Passo 6
Por fim, aplicamos a função raiz quadrada em todos os membros. A função
é crescente em
, e aqui todos os termos são não negativos, então a desigualdade se preserva ao tomar raiz quadrada:
Isso é exatamente o que se pedia.