a)
Calcule a integral de linha
, onde
é o círculo
b) Seja
.
- (3 pts) O campo F é conservativo? Justifique!
- (3 pts) Calcule
, onde
é a linha poligonal
(2, 0, 1).
b) Seja
Passo 1
O enunciado tem duas partes.
a) Calcular a integral de linha
a) Calcular a integral de linha
onde
é o círculo
.
Conteúdo: forma diferencial em e Teorema de Green.
Conteúdo: forma diferencial em
b) Tem o campo em
b1) Decidir se
é conservativo, checando
.
b2) Calcular ao longo da linha poligonal pelos pontos
b2) Calcular
Conteúdo: teste de conservatividade (rotacional) e integral de linha em pedaços.
Passo 2
Para a) definimos
Pelo Teorema de Green, com orientação positiva (sentido anti-horário),
Calculamos
A região
é o disco de raio
, cuja área é
.
Passo 3
Portanto
Passo 4
Para b1), calculamos o rotacional de
:
Basta verificar se esse vetor é o nulo em
.
Passo 5
Computando componentes do rotacional:
Já basta um componente não-nulo para concluir que
. Logo
não é conservativo.
Passo 6
Para b2) fazemos a integral ao longo dos quatro trechos da poligonal. Em cada trecho
,
, calculamos
, avaliamos
e integramos
.
Passo 7
Os cálculos dão, trecho a trecho, os seguintes resultados:
trecho 1: de a
,
trecho 2: de a
,
trecho 3: de a
,
trecho 4: de a
.
Somando: .
trecho 1: de
trecho 2: de
trecho 3: de
trecho 4: de
Somando:
Resposta
a)
b1)
não é conservativo, pois
.
b2) .
b2)