a) (3 \mathrm{pta}) Calcule a integral de linha \int_{C}\left(2 y+\cos \left(e^{2}\right)\right) d x+\left(11 x-\sqrt{y^{6}+1}\right) d y, onde C é o círculo x^{2}+y^{2}=4
b) Seja F(x, y, z)=(2 x y z-2 y) \mathbf{i}+\left(x^{2} z-2 x\right) \mathbf{j}+\left(x^{2} y+2 x\right) \mathbf{k}.
  • (3 pts) O campo F é conservativo? Justifique!
  • (3 pts) Calcule \int_{C} F \cdot d r, onde C é a linha poligonal (-1,0,2) \rightarrow(0,0,0) \rightarrow(1,1,0) \rightarrow(3,0,0) \rightarrow (2, 0, 1).

Passo 1

O enunciado tem duas partes.
a) Calcular a integral de linha
\int_{C}\bigl(2y+\cos(e^{2})\bigr)\,dx+\bigl(11x-\sqrt{y^{6}+1}\bigr)\,dy,
onde C é o círculo x^{2}+y^{2}=4.
Conteúdo: forma diferencial em \mathbb{R}^{2} e Teorema de Green.
b) Tem o campo em \mathbb{R}^{3}
F(x,y,z) = (2xyz-2y)\,\mathbf{i} + (x^{2}z-2x)\,\mathbf{j} + (x^{2}y+2x)\,\mathbf{k}.
b1) Decidir se F é conservativo, checando \nabla\times F.
b2) Calcular \displaystyle\int_{C}F\cdot d r ao longo da linha poligonal pelos pontos
(-1,0,2)\to(0,0,0)\to(1,1,0)\to(3,0,0)\to(2,0,1).
Conteúdo: teste de conservatividade (rotacional) e integral de linha em pedaços.

Passo 2

Para a) definimos
P(x,y)=2y+\cos(e^{2}),\quad Q(x,y)=11x-\sqrt{y^{6}+1}.
Pelo Teorema de Green, com orientação positiva (sentido anti-horário),
\int_{C}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\bigl(\partial_{x}Q-\partial_{y}P\bigr)\,dA.
Calculamos
\partial_{x}Q=11,\quad \partial_{y}P=2 \quad\Longrightarrow\quad \partial_{x}Q-\partial_{y}P=11-2=9.
A região D é o disco de raio 2, cuja área é \pi\cdot2^{2}=4\pi.

Passo 3

Portanto
\int_{C}\bigl(2y+\cos(e^{2})\bigr)\,dx+\bigl(11x-\sqrt{y^{6}+1}\bigr)\,dy =9\iint_{D}dA =9\cdot4\pi =36\pi.

Passo 4

Para b1), calculamos o rotacional de F=(P,Q,R):
\nabla\times F =\Bigl(\partial_{y}R-\partial_{z}Q,\;\partial_{z}P-\partial_{x}R,\;\partial_{x}Q-\partial_{y}P\Bigr).
Basta verificar se esse vetor é o nulo em \mathbb{R}^{3}.

Passo 5

Computando componentes do rotacional:
\partial_{y}R=\partial_{y}(x^{2}y+2x)=x^{2},\quad \partial_{z}Q=\partial_{z}(x^{2}z-2x)=x^{2} \;\Longrightarrow\; \partial_{y}R-\partial_{z}Q=0,
\partial_{z}P=\partial_{z}(2xyz-2y)=2xy,\quad \partial_{x}R=\partial_{x}(x^{2}y+2x)=2xy+2 \;\Longrightarrow\; \partial_{z}P-\partial_{x}R=2xy-(2xy+2)=-2\neq0.
Já basta um componente não-nulo para concluir que \nabla\times F\neq0. Logo F não é conservativo.

Passo 6

Para b2) fazemos a integral ao longo dos quatro trechos da poligonal. Em cada trecho r_{i}(t), t\in[0,1], calculamos dr_{i}, avaliamos F(r_{i}(t)) e integramos F\cdot dr.

Passo 7

Os cálculos dão, trecho a trecho, os seguintes resultados:
trecho 1: de (-1,0,2) a (0,0,0) \;\to\;2,
trecho 2: de (0,0,0) a (1,1,0) \;\to\;-2,
trecho 3: de (1,1,0) a (3,0,0) \;\to\;2,
trecho 4: de (3,0,0) a (2,0,1) \;\to\;5.
Somando: 2 +(-2)+2+5 =7.

Resposta

a) \displaystyle36\pi
b1) F não é conservativo, pois \nabla\times F\neq0.
b2) \displaystyle\int_{C}F\cdot d r =7.

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