Use integração dupla para calcular a área da região plana dada.
O círculo de raio a e centro na origem.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região plana limitada pelo círculo de raio a centrado na origem. Vamos usar integração dupla em coordenadas polares, pois a simetria circular simplifica muito o cálculo.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
onde \theta varia de 0 a 2\pi e r de 0 a a. O diferencial de área resulta em
dA = r\,dr\,d\theta
devido ao Jacobiano da transformação.

Passo 3

A área A do disco é
A = \iint_{x^2+y^2\le a^2} dA = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{a} r\,dr\,d\theta.
Primeiro integramos em r:
\int_{0}^{a} r\,dr = \frac{a^2}{2}.

Passo 4

Substituindo na integral em \theta, obtemos
A = \int_{0}^{2\pi} \frac{a^2}{2}\,d\theta = \frac{a^2}{2}\cdot 2\pi = \pi a^2.

Resposta

\pi a^2

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