Questão 2) Dada a EDO y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime \prime}+4 y=10 x^{2} \mathrm{e}^{2 x}+30 \cos (2 x)-x^{3}.
Qual o formato da solução particular?
y_{p(x)}=

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear de coeficientes constantes
y'''-3y''+4y = 10x^2e^{2x} \;+\;30\cos(2x)\;-\;x^3
e pede apenas o formato da solução particular y_p(x). Vamos usar o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Primeiro encontramos a equação característica da parte homogênea:
r^3 -3r^2 +4 = 0.
Fatorizando, obtemos
r^3 -3r^2 +4 = (r-2)^2(r+1)=0,
isto é, r=2 é raiz dupla e r=-1 é raiz simples. Isso nos diz que, sempre que a forçante envolver e^{2x}, devemos multiplicar o “chute” por x^2.

Passo 3

Para o termo 10x^2e^{2x}:
  • A forma básica de um particular para x^2e^{ax} é e^{ax}(Ax^2+Bx+C).
  • Como a=2 corresponde à raiz dupla r=2, multiplicamos por x^2.
    Logo o chute é
y_{p1}(x)=x^2e^{2x}\bigl(Ax^2+Bx+C\bigr).

Passo 4

Para o termo 30\cos(2x):
  • O chute padrão para \cos(2x) é D\cos(2x)+E\sin(2x).
  • Como \pm2i não são raízes da característica, não há fator extra de x.
    Logo
y_{p2}(x)=D\cos(2x)+E\sin(2x).

Passo 5

Para o termo -x^3:
  • O chute para um polinômio de grau 3 é Fx^3+Gx^2+Hx+I.
  • Como r=0 não anula a característica, não multiplicamos por x.
    Logo
y_{p3}(x)=Fx^3+Gx^2+Hx+I.

Passo 6

Somando todas as parcelas particulares, obtemos o formato geral de y_p(x):
\boxed{y_p(x)=x^2e^{2x}\bigl(Ax^2+Bx+C\bigr)\;+\;D\cos(2x)+E\sin(2x)\;+\;Fx^3+Gx^2+Hx+I.}

Resposta

y_p(x)=x^2e^{2x}\bigl(Ax^2+Bx+C\bigr)+D\cos(2x)+E\sin(2x)+Fx^3+Gx^2+Hx+I.

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