Q. 2(2 \mathrm{pts})

Assinale qual das equações diferenciais a seguir pode modelar a vibração de uma corda com extremos fixos, sujeita a atrito proporcional à velocidade da corda, onde u(x, t) é a altura da corda na posição x \in[0, L] no tempo t.
\begin{gathered} \left\{\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}, \quad u(0, t)=u(L, t)=0\right. \\\ \left\{\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial u}{\partial x}, \quad u(0, t)=u(L, t)=0\right. \\\ \left\{\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-\frac{\partial u}{\partial t}, \quad u(x, 0)=0\right. \\\ \left\{\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-u, \quad u(0, t)=u(L, t)=0\right. \\\ \left\{\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-\frac{\partial u}{\partial t}, \quad u(0, t)=u(L, t)=0\right. \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede: escolher qual das equações diferenciais listadas pode modelar a vibração de uma corda com extremos fixos, sujeita a atrito proporcional à velocidade, onde u(x,t) é a altura da corda para x\in[0,L] e tempo t.
Informações importantes dadas no enunciado e nos candidatos:
  • A variável dependente é u(x,t).
  • Extremidades fixas: condição nas bordas deve ser u(0,t)=u(L,t)=0.
  • Atrito proporcional à velocidade: termo proporcional a \partial u/\partial t (ou seja, a derivada temporal de u), com sinal de amortecimento (força oposta à velocidade).
  • Vibração de corda implica equação de onda (segunda derivada temporal) com termo de tensão espacial (segunda derivada espacial).
As equações candidatas são (copiadas do enunciado):
\begin{gathered} \text{(1)}\quad \left\{\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}, \quad u(0, t)=u(L, t)=0\right. \\\ \text{(2)}\quad \left\{\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial u}{\partial x}, \quad u(0, t)=u(L, t)=0\right. \\\ \text{(3)}\quad \left\{\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-\frac{\partial u}{\partial t}, \quad u(x, 0)=0\right. \\\ \text{(4)}\quad \left\{\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-u, \quad u(0, t)=u(L, t)=0\right. \\\ \text{(5)}\quad \left\{\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-\frac{\partial u}{\partial t}, \quad u(0, t)=u(L, t)=0\right. \end{gathered}

Passo 2

Relembrando a forma física que esperamos (a pequena “aula” que te ajuda a identificar no prova):
  • A equação de onda unidimensional para uma corda tensa, sem amortecimento, tem a forma
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = c^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}},
onde u(x,t) é deslocamento vertical, c>0 é a velocidade de propagação (depende da tensão e da densidade linear da corda). Aqui:
  • \partial^{2}u/\partial t^{2} representa a aceleração vertical (inércia);
  • \partial^{2}u/\partial x^{2} vem da tensão (força restauradora) que gera ondas.
  • Atrito (amortecimento) proporcional à velocidade é modelado adicionando um termo proporcional a \partial u/\partial t com sinal que reduz a energia (força de atrito oposta ao sentido da velocidade). Assim o modelo linear mais simples com amortecimento é
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = c^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} - k\frac{\partial u}{\partial t},
com k>0 constante de amortecimento. Note:
  • O sinal negativo é essencial: se \partial u/\partial t>0 (subindo), o termo -k\partial u/\partial t é negativo (puxa para baixo), dissipando energia.
  • O termo é dependente do tempo (velocidade), não da derivada espacial.
  • Condições de extremos fixos são exatamente
u(0,t)=u(L,t)=0\quad\text{para todo }t,
ou seja, deslocamento nulo nas pontas.
  • Portanto, para uma corda vibrante com amortecimento proporcional à velocidade esperamos:
    1. segunda derivada temporal presente ( \partial^{2}u/\partial t^{2});
    2. segunda derivada espacial presente ( \partial^{2}u/\partial x^{2});
    3. termo de amortecimento da forma -k\,\partial u/\partial t (com k>0);
    4. condições de contorno u(0,t)=u(L,t)=0.

Passo 3

Verificando rapidamente requisitos 1 e 4 (ordem temporal e condições de contorno) nos candidatos:
  • As opções (1) e (4) têm apenas \partial u/\partial t (primeira derivada temporal). Essas são equações de difusão (tipo calor) e não descrevem vibração com inércia; portanto não são modelos de corda vibrante. Então já podemos eliminar (1) e (4).
Explicação didática: a presença de \partial^{2}u/\partial t^{2} é necessária para capturar aceleração e oscilações. Equações com só \partial u/\partial t modelam relaxamento sem oscilações, comportamento difusivo, não o de uma corda que vibra.

Passo 4

Analisando a opção (2):
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial u}{\partial x}.
  • Aqui há \partial^{2}u/\partial t^{2} e \partial^{2}u/\partial x^{2}, bom para onda; porém o termo extra é \partial u/\partial x, ou seja, derivada espacial de primeira ordem.
  • Interpretação física: \partial u/\partial x representa inclinação da corda, não velocidade. Um termo linear em \partial u/\partial x corresponderia a uma força dependente da inclinação (assimétrica), não a um atrito proporcional à velocidade. Além disso, esse termo pode introduzir efeitos de advecção ou quebra de simetria; não representa amortecimento proporcional à velocidade.
  • Conclusão: (2) não descreve atrito proporcional à velocidade, então não é a resposta procurada.

Passo 5

Analisando a opção (3):
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-\frac{\partial u}{\partial t},\quad u(x,0)=0.
  • A equação tem a estrutura correta de onda com amortecimento: o termo -\partial u/\partial t é exatamente do tipo amortecimento proporcional à velocidade (aqui com k=1 adimensionalmente).
  • No entanto, na expressão dada a condição indicada é apenas u(x,0)=0 (apenas uma condição inicial de deslocamento nula) e não aparecem as condições de contorno de extremos fixos u(0,t)=u(L,t)=0 no enunciado da alternativa. O enunciado geral da questão exige extremos fixos, então a equação candidata também deve vir acompanhada dessas condições de contorno. Assim, a forma dada na alternativa (3) está incompleta quanto às condições de contorno necessárias para modelar a corda com extremos fixos.
  • Observação: se nós complementássemos a alternativa (3) com u(0,t)=u(L,t)=0, a equação seria adequada como modelo (é a mesma equação diferencial que na alternativa (5)). Mas examina-se exatamente o que cada alternativa apresenta.

Passo 6

Analisando a opção (5):
\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-\frac{\partial u}{\partial t},\quad u(0,t)=u(L,t)=0.
  • Esta opção tem todos os ingredientes esperados:
    1. \partial^{2}u/\partial t^{2}: inércia (oscilações possíveis);
    2. \partial^{2}u/\partial x^{2}: força restauradora por tensão;
    3. -\partial u/\partial t: termo de amortecimento proporcional à velocidade (com constante de amortecimento k=1); o sinal negativo garante que a força de amortecimento se opõe à velocidade;
    4. condições de contorno u(0,t)=u(L,t)=0: extremos fixos, conforme pedido.
  • Portanto a alternativa (5) representa exatamente um modelo linear simples de corda vibrante com amortecimento viscoso proporcional à velocidade e extremos fixos.

Passo 7

Dica prática para prova (resumo didático que podes usar como check-list):
  • Passo rápido: verifique se a equação tem \partial^{2}u/\partial t^{2}. Se não tiver, descarte (não é onda).
  • Verifique se existe um termo proporcional a \partial u/\partial t com sinal negativo (amortecimento). Se sim, ponto a favor.
  • Verifique as condições de contorno: extremos fixos => u(0,t)=u(L,t)=0.
  • Ignore termos em \partial u/\partial x se o enunciado pedir amortecimento em velocidade (eles não são velocidade).

Resposta

\displaystyle \left\{\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-\frac{\partial u}{\partial t},\quad u(0,t)=u(L,t)=0\right.

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