Q.
Assinale qual das equações diferenciais a seguir pode modelar a vibração de uma corda com extremos fixos, sujeita a atrito proporcional à velocidade da corda, onde
é a altura da corda na posição
no tempo
.
Passo 1
O enunciado pede: escolher qual das equações diferenciais listadas pode modelar a vibração de uma corda com extremos fixos, sujeita a atrito proporcional à velocidade, onde
é a altura da corda para
e tempo
.
Informações importantes dadas no enunciado e nos candidatos:
- A variável dependente é
. - Extremidades fixas: condição nas bordas deve ser
. - Atrito proporcional à velocidade: termo proporcional a
(ou seja, a derivada temporal de ), com sinal de amortecimento (força oposta à velocidade). - Vibração de corda implica equação de onda (segunda derivada temporal) com termo de tensão espacial (segunda derivada espacial).
As equações candidatas são (copiadas do enunciado):
Passo 2
Relembrando a forma física que esperamos (a pequena “aula” que te ajuda a identificar no prova):
- A equação de onda unidimensional para uma corda tensa, sem amortecimento, tem a forma
onde
é deslocamento vertical,
é a velocidade de propagação (depende da tensão e da densidade linear da corda). Aqui:
-
representa a aceleração vertical (inércia); -
vem da tensão (força restauradora) que gera ondas. -
Atrito (amortecimento) proporcional à velocidade é modelado adicionando um termo proporcional a
com sinal que reduz a energia (força de atrito oposta ao sentido da velocidade). Assim o modelo linear mais simples com amortecimento é
com
constante de amortecimento. Note:
-
O sinal negativo é essencial: se
(subindo), o termo é negativo (puxa para baixo), dissipando energia. -
O termo é dependente do tempo (velocidade), não da derivada espacial.
-
Condições de extremos fixos são exatamente
ou seja, deslocamento nulo nas pontas.
- Portanto, para uma corda vibrante com amortecimento proporcional à velocidade esperamos:
- segunda derivada temporal presente (
); - segunda derivada espacial presente (
); - termo de amortecimento da forma
(com ); - condições de contorno
.
- segunda derivada temporal presente (
Passo 3
Verificando rapidamente requisitos 1 e 4 (ordem temporal e condições de contorno) nos candidatos:
- As opções (1) e (4) têm apenas
(primeira derivada temporal). Essas são equações de difusão (tipo calor) e não descrevem vibração com inércia; portanto não são modelos de corda vibrante. Então já podemos eliminar (1) e (4).
Explicação didática: a presença de
é necessária para capturar aceleração e oscilações. Equações com só
modelam relaxamento sem oscilações, comportamento difusivo, não o de uma corda que vibra.
Passo 4
Analisando a opção (2):
- Aqui há
e , bom para onda; porém o termo extra é , ou seja, derivada espacial de primeira ordem. - Interpretação física:
representa inclinação da corda, não velocidade. Um termo linear em corresponderia a uma força dependente da inclinação (assimétrica), não a um atrito proporcional à velocidade. Além disso, esse termo pode introduzir efeitos de advecção ou quebra de simetria; não representa amortecimento proporcional à velocidade. - Conclusão: (2) não descreve atrito proporcional à velocidade, então não é a resposta procurada.
Passo 5
Analisando a opção (3):
- A equação tem a estrutura correta de onda com amortecimento: o termo
é exatamente do tipo amortecimento proporcional à velocidade (aqui com adimensionalmente). - No entanto, na expressão dada a condição indicada é apenas
(apenas uma condição inicial de deslocamento nula) e não aparecem as condições de contorno de extremos fixos no enunciado da alternativa. O enunciado geral da questão exige extremos fixos, então a equação candidata também deve vir acompanhada dessas condições de contorno. Assim, a forma dada na alternativa (3) está incompleta quanto às condições de contorno necessárias para modelar a corda com extremos fixos. - Observação: se nós complementássemos a alternativa (3) com
, a equação seria adequada como modelo (é a mesma equação diferencial que na alternativa (5)). Mas examina-se exatamente o que cada alternativa apresenta.
Passo 6
Analisando a opção (5):
- Esta opção tem todos os ingredientes esperados:
-
: inércia (oscilações possíveis); -
: força restauradora por tensão; -
: termo de amortecimento proporcional à velocidade (com constante de amortecimento ); o sinal negativo garante que a força de amortecimento se opõe à velocidade; - condições de contorno
: extremos fixos, conforme pedido.
-
- Portanto a alternativa (5) representa exatamente um modelo linear simples de corda vibrante com amortecimento viscoso proporcional à velocidade e extremos fixos.
Passo 7
Dica prática para prova (resumo didático que podes usar como check-list):
- Passo rápido: verifique se a equação tem
. Se não tiver, descarte (não é onda). - Verifique se existe um termo proporcional a
com sinal negativo (amortecimento). Se sim, ponto a favor. - Verifique as condições de contorno: extremos fixos =>
. - Ignore termos em
se o enunciado pedir amortecimento em velocidade (eles não são velocidade).