Q. 5 (2 pts)

Determine a forma integral dos coeficientes de Fourier-Seno b_{n} da função estensão ímpar da Q. 4, o mais detalhadamente que puder.
Obs. Não precisa calcular as integrais, mas destaque os limites de integração, os integrandos em cada intervalo, etc.

Passo 1

O enunciado pede: “Determinar a forma integral dos coeficientes de Fourier-Seno b_{n} da função extensão ímpar da Q.4, o mais detalhadamente que puder.”
Informações relevantes fornecidas (e suposições padrão que vou usar para poder resolver):
  • A Q.4 define uma função f no intervalo [0,L] (esta é a hipótese padrão em problemas de extensão ímpar para séries de Fourier com período 2L).
  • O que se quer é a expressão integral dos coeficientes de Fourier-Seno b_{n} da extensão ímpar de f ao intervalo [-L,L].
    Obs.: não peço nada a mais, mas vou trabalhar com a hipótese usual f:[0,L]\to\mathbb{R}. Se a Q.4 tiver outro intervalo ou definição, o procedimento é análogo mudando L ou os trechos onde f é definido.

Passo 2

Definição da extensão ímpar e revisão de paridades (aula rápida necessária):
  • A extensão ímpar f_{\text{odd}}\) de \(f\) ao intervalo \([-L,L]\) é dada por \[f_{\text{odd}}(x)=\begin{cases} f(x), & 0\le x\le L,\\[4pt] -\,f(-x), & -L\le x<0. \end{cases}
Isto garante que f_{\text{odd}}(-x)=-f_{\text{odd}}(x)\] (propriedade de função ímpar). - Lembrete sobre a função seno: \(\sin é ímpar, isto é, \sin(-t)=-\sin(t).
- Produto de duas funções ímpares é uma função par. Logo f_{\text{odd}}(x)\cdot\sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big) é par, e isso vai facilitar a integral em [-L,L].]

Passo 3

Fórmula padrão dos coeficientes b_{n} para uma função com período 2L (série de Fourier na forma clássica):
Para uma função g definida em [-L,L] a componente b_{n} da série de Fourier é
b_{n}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} g(x)\,\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{L}\bigg)\,dx.
Aqui usamos a normalização clássica com período 2L. No nosso caso tomamos g=f_{\text{odd}}.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao f_{\text{odd}} e usando a paridade para simplificar:
Escrevemos primeiro a expressão direta:
b_{n}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f_{\text{odd}}(x)\,\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{L}\bigg)\,dx.
Como f_{\text{odd}}(x)\sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big) é função par, a integral sobre [-L,L] é o dobro da integral sobre [0,L]. Assim
b_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f_{\text{odd}}(x)\,\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{L}\bigg)\,dx.
Mas para x\in[0,L] temos f_{\text{odd}}(x)=f(x). Logo a expressão reduz para a forma padrão usada para séries seno em [0,L]:
b_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\,\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{L}\bigg)\,dx.

Passo 5

Comentário didático sobre o que isto significa na prática (como aplicar em prova, passo-a-passo):
  • Primeiro identifique o intervalo fundamental L\) do problema (se a Q.4 usar outro intervalo, substitua \(L\) por esse valor). - Escreva a extensão ímpar se precisar verificar a paridade: para \(x<0\) a função vale \(-f(-x)\). - Use a fórmula geral em \([-L,L]\) e reduza para \([0,L]\) usando a paridade (produto ímpar·ímpar = par). Isso evita ter que integrar em duas partes com sinais diferentes. - Se \(f\) for definida por pedaços em \([0,L]\), então na prática você vai partir a integral em soma de integrais em cada subintervalo onde \(f\) tem expressão diferente. Ou seja, se \[f(x)=\begin{cases} f_1(x), & 0\le x\le c,\\[4pt] f_2(x), & c<x\le L, \end{cases}
então
b_{n}=\frac{2}{L}\bigg(\int_{0}^{c} f_1(x)\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{L}\bigg)\,dx+\int_{c}^{L} f_2(x)\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{L}\bigg)\,dx\bigg).
  • Você NÃO precisa calcular estas integrais para expressar b_{n}\]; basta identificar os limites e os integrandos conforme a definição de \(f.]

Passo 6

Exemplos rápidos para fixar (sem calcular integrais):
  • Se f(x)=x em [0,L], então
b_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} x\,\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{L}\bigg)\,dx.
  • Se f for peça linear por partes, quebra-se a integral em tantas parcelas quantos forem os trechos, cada parcela com integrando correspondente multiplicado por \sin\!\big(\tfrac{n\pi x}{L}\big).

Resposta

b_{n}=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f_{\text{odd}}(x)\,\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{L}\bigg)\,dx
\text{equivalente a}\qquad b_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\,\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{L}\bigg)\,dx
\text{e, se }f\text{ for por partes em }[0,L],\quad b_{n}=\frac{2}{L}\sum_{k}\int_{a_{k}}^{a_{k+1}} f_{k}(x)\,\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{L}\bigg)\,dx

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