Q. 5 (2 pts)
Determine a forma integral dos coeficientes de Fourier-Seno
da função estensão ímpar da Q. 4, o mais detalhadamente que puder.
Obs. Não precisa calcular as integrais, mas destaque os limites de integração, os integrandos em cada intervalo, etc.
Obs. Não precisa calcular as integrais, mas destaque os limites de integração, os integrandos em cada intervalo, etc.
Passo 1
O enunciado pede: “Determinar a forma integral dos coeficientes de Fourier-Seno
da função extensão ímpar da Q.4, o mais detalhadamente que puder.”
Informações relevantes fornecidas (e suposições padrão que vou usar para poder resolver):
Informações relevantes fornecidas (e suposições padrão que vou usar para poder resolver):
- A Q.4 define uma função
no intervalo (esta é a hipótese padrão em problemas de extensão ímpar para séries de Fourier com período ). - O que se quer é a expressão integral dos coeficientes de Fourier-Seno
da extensão ímpar de ao intervalo .
Obs.: não peço nada a mais, mas vou trabalhar com a hipótese usual. Se a Q.4 tiver outro intervalo ou definição, o procedimento é análogo mudando ou os trechos onde é definido.
Passo 2
Definição da extensão ímpar e revisão de paridades (aula rápida necessária):
- A extensão ímpar
Isto garante que
é ímpar, isto é,
.
- Produto de duas funções ímpares é uma função par. Logo é par, e isso vai facilitar a integral em
.]
- Produto de duas funções ímpares é uma função par. Logo
Passo 3
Fórmula padrão dos coeficientes
para uma função com período
(série de Fourier na forma clássica):
Para uma função definida em
a componente
da série de Fourier é
Para uma função
Aqui usamos a normalização clássica com período
. No nosso caso tomamos
.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao
e usando a paridade para simplificar:
Escrevemos primeiro a expressão direta:
Escrevemos primeiro a expressão direta:
Como
é função par, a integral sobre
é o dobro da integral sobre
. Assim
Mas para
temos
. Logo a expressão reduz para a forma padrão usada para séries seno em
:
Passo 5
Comentário didático sobre o que isto significa na prática (como aplicar em prova, passo-a-passo):
- Primeiro identifique o intervalo fundamental
então
- Você NÃO precisa calcular estas integrais para expressar .]
Passo 6
Exemplos rápidos para fixar (sem calcular integrais):
- Se
em , então
- Se
for peça linear por partes, quebra-se a integral em tantas parcelas quantos forem os trechos, cada parcela com integrando correspondente multiplicado por .