Questão 2 (2 pts) Determine que condições precisam ser impostas sobre os coeficientes a, b, c, d, e para que equações do tipo
a \cdot u \cdot \frac{\partial u}{\partial x}+b \cdot \frac{\partial^{3} u}{\partial t^{3}}=c \cdot u^{2}+d \cdot u+e
se tornem lineares e não-homogêneas.
  1. É preciso que c=0, e \neq 0.
  2. É preciso que a=0, b=0, c=0.
  3. É preciso que b=0, c=0, e \neq 0.
  4. É preciso que a=0, b=0, c=0, e \neq 0.
  5. É preciso que a=0, c=0, e \neq 0.

Passo 1

O enunciado dá a equação
a \cdot u \cdot \frac{\partial u}{\partial x}+b \cdot \frac{\partial^{3} u}{\partial t^{3}}=c \cdot u^{2}+d \cdot u+e
e pede: que condições sobre os coeficientes \,a,b,c,d,e\,$ devemos impor para que a equação seja linear e não-homogênea. Informações relevantes fornecidas: - Há um termo com produto de \(u e sua derivada: \,a\cdot u\cdot\frac{\partial u}{\partial x}\,.
- Há um termo de derivada linear: \,b\cdot\frac{\partial^{3}u}{\partial t^{3}}\,.
- Há um termo quadrático: \,c\cdot u^{2}\,.
- Há um termo linear em u: \,d\cdot u\,.
- Há um termo constante (fonte): \,e\,.
- A equação deve ser: (i) linear em u e suas derivadas; (ii) não-homogênea (ou seja, ter termo independente de u não nulo).)

Passo 2

O que significa “linear” aqui (explicação didática e teste de linearidade):
  • Uma equação diferencial é linear em u se cada termo que envolva u ou suas derivadas aparece apenas de forma linear (sem produtos entre u e u ou entre u e suas derivadas, sem potências como u^{2}, etc.).
  • Operacionalmente, um operador L é linear se para quaisquer funções u,v e escalares \alpha,\beta tivermos L(\alpha u+\beta v)=\alpha L(u)+\beta L(v).
  • Exemplo rápido: o termo \,d\cdot u\, é linear porque d(\alpha u+\beta v)=\alpha d u+\beta d v. Já o termo \,u^{2}\, não é linear porque (\alpha u+\beta v)^{2}\neq\alpha u^{2}+\beta v^{2} em geral.

Passo 3

Classificação dos termos da equação quanto à linearidade:
  • \,a\cdot u\cdot\frac{\partial u}{\partial x}\,: é um termo não linear, pois é produto de u por \partial u/\partial x. Se substituir u por \alpha u esse termo escala como \alpha^{2}, violando a propriedade de linearidade.
  • \,c\cdot u^{2}\,: é um termo não linear (potência de u).
  • \,b\cdot\frac{\partial^{3}u}{\partial t^{3}}\,: é linear, porque derivadas aparecem multiplicadas por constante b (não há produto entre u e suas derivadas).
  • \,d\cdot u\,: é linear.
  • \,e\,: é um termo independente de u (termo fonte). Sua presença torna a equação não-homogênea se e\neq 0.

Passo 4

Impor linearidade: eliminar todos os termos não-lineares. Portanto devemos anular os coeficientes que multiplicam os termos não-lineares identificados:
  • Para eliminar \,a\cdot u\cdot\frac{\partial u}{\partial x}\, é necessário \,a=0.
  • Para eliminar \,c\cdot u^{2}\, é necessário \,c=0.
    Após essas anulações, a equação torna-se (substituindo a=0, c=0):
b\cdot\frac{\partial^{3}u}{\partial t^{3}} = d\cdot u + e,
que é linear em u (pois aparece apenas u e derivadas de u, todos de forma linear).

Passo 5

Impor não-homogeneidade: a equação linear é não-homogênea quando existe um termo independente de u não nulo no lado direito (uma fonte). Aqui esse termo é \,e\,. Logo precisamos de \,e\neq 0.
Observações adicionais:
  • Não é necessário impor b=0: o termo \,b\cdot\frac{\partial^{3}u}{\partial t^{3}}\, é compatível com linearidade e pode permanecer (inclusive b pode ser zero ou não, ambas opções mantêm linearidade; mas não é obrigatório anulá-lo).
  • O coeficiente d do termo linear \,d\cdot u\, também pode ser qualquer número (não precisa ser zero).

Passo 6

Conclusão e comparação com as alternativas dadas:
  • As condições mínimas para que a equação seja linear e não-homogênea são \,a=0,\;c=0,\;e\neq 0.
  • Isso corresponde exatamente à alternativa 5. As outras alternativas ou deixam algum termo não-linear (por exemplo alternativa 1 não anula a), ou anulam coeficientes desnecessariamente (por exemplo alternativa 3 exige b=0 sem necessidade), ou não exigem e\neq 0 (por exemplo alternativa 2).

Resposta

  1. É preciso que a=0,\,c=0,\,e\neq 0.

Exercícios relacionados