Questão 2 (2 pts) Determine que condições precisam ser impostas sobre os coeficientes
para que equações do tipo
se tornem lineares e não-homogêneas.
- É preciso que
.
- É preciso que
.
- É preciso que
.
- É preciso que
.
- É preciso que
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede: que condições sobre os coeficientes
e sua derivada:
.
- Há um termo de derivada linear: .
- Há um termo quadrático: .
- Há um termo linear em :
.
- Há um termo constante (fonte): .
- A equação deve ser: (i) linear em e suas derivadas; (ii) não-homogênea (ou seja, ter termo independente de
não nulo).)
- Há um termo de derivada linear:
- Há um termo quadrático:
- Há um termo linear em
- Há um termo constante (fonte):
- A equação deve ser: (i) linear em
Passo 2
O que significa “linear” aqui (explicação didática e teste de linearidade):
- Uma equação diferencial é linear em
se cada termo que envolva ou suas derivadas aparece apenas de forma linear (sem produtos entre e ou entre e suas derivadas, sem potências como , etc.). - Operacionalmente, um operador
é linear se para quaisquer funções e escalares tivermos . - Exemplo rápido: o termo
é linear porque . Já o termo não é linear porque em geral.
Passo 3
Classificação dos termos da equação quanto à linearidade:
-
: é um termo não linear, pois é produto de por . Se substituir por esse termo escala como , violando a propriedade de linearidade. -
: é um termo não linear (potência de ). -
: é linear, porque derivadas aparecem multiplicadas por constante (não há produto entre e suas derivadas). -
: é linear. -
: é um termo independente de (termo fonte). Sua presença torna a equação não-homogênea se .
Passo 4
Impor linearidade: eliminar todos os termos não-lineares. Portanto devemos anular os coeficientes que multiplicam os termos não-lineares identificados:
- Para eliminar
é necessário . - Para eliminar
é necessário .
Após essas anulações, a equação torna-se (substituindo):
que é linear em
(pois aparece apenas
e derivadas de
, todos de forma linear).
Passo 5
Impor não-homogeneidade: a equação linear é não-homogênea quando existe um termo independente de
não nulo no lado direito (uma fonte). Aqui esse termo é
. Logo precisamos de
.
Observações adicionais:
Observações adicionais:
- Não é necessário impor
: o termo é compatível com linearidade e pode permanecer (inclusive pode ser zero ou não, ambas opções mantêm linearidade; mas não é obrigatório anulá-lo). - O coeficiente
do termo linear também pode ser qualquer número (não precisa ser zero).
Passo 6
Conclusão e comparação com as alternativas dadas:
- As condições mínimas para que a equação seja linear e não-homogênea são
. - Isso corresponde exatamente à alternativa 5. As outras alternativas ou deixam algum termo não-linear (por exemplo alternativa 1 não anula
), ou anulam coeficientes desnecessariamente (por exemplo alternativa 3 exige sem necessidade), ou não exigem (por exemplo alternativa 2).
Resposta
- É preciso que
.