Q. 1 ( 2 pts) Sobre a função
u(x, y)=\left(e^{x}-e^{-x}\right) \cdot \cos (y)
o que se pode afirmar:
  1. Satisfaz a equação \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}=0
  2. Satisfaz a equação \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0
  3. Satisfaz a equação \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}
  4. Satisfaz a equação \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=-\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}
  5. Nenhuma das alternativas acima.

Passo 1

O enunciado dá a função
u(x,y)=\left(e^{x}-e^{-x}\right)\cos(y)
e pergunta qual das alternativas abaixo é satisfeita:
  1. \dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial u}{\partial y}=0
  2. \dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0
  3. \dfrac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=\dfrac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}
  4. \dfrac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=-\dfrac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}
  5. Nenhuma das alternativas acima.
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de u(x,y). A tarefa é calcular derivadas parciais (primeiras e segundas) e testar cada igualdade.

Passo 2

Vamos lembrar como calcular derivadas parciais: ao derivar em relação a x tratamos y como constante; ao derivar em relação a y tratamos x como constante. Também usamos derivadas básicas: \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}, \dfrac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}, \dfrac{d}{dy}\cos y=-\sin y, \dfrac{d}{dy}\sin y=\cos y. Agora calculamos a derivada parcial de u em relação a x.
Calculemos \dfrac{\partial u}{\partial x}. Como \cos(y) é constante ao derivar em x,
\dfrac{\partial u}{\partial x}=\left(\dfrac{d}{dx}e^{x}-\dfrac{d}{dx}e^{-x}\right)\cos(y)=(e^{x}+e^{-x})\cos(y).

Passo 3

Agora calculamos \dfrac{\partial u}{\partial y}. Aqui \left(e^{x}-e^{-x}\right) é constante ao derivar em y, e \dfrac{d}{dy}\cos y=-\sin y. Portanto
\dfrac{\partial u}{\partial y}=\left(e^{x}-e^{-x}\right)\cdot(-\sin y)=-(e^{x}-e^{-x})\sin y.

Passo 4

Testamos a alternativa 1: somar \dfrac{\partial u}{\partial x} e \dfrac{\partial u}{\partial y}.
\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial u}{\partial y}=(e^{x}+e^{-x})\cos y-(e^{x}-e^{-x})\sin y.
Isso não é zero em geral (por exemplo, em x=0,y=0 2\neq0). Logo a alternativa 1 é falsa.

Passo 5

Precisamos das segundas derivadas em y. Diferenciando \dfrac{\partial u}{\partial y}=-(e^{x}-e^{-x})\sin y em relação a y novamente, usamos \dfrac{d}{dy}\sin y=\cos y:
\dfrac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=-(e^{x}-e^{-x})\cos y.
(Observação: também podemos ver que a segunda derivada de \cos y é -\cos y, então u_{yy}=(e^{x}-e^{-x})(- \cos y).)

Passo 6

Testamos a alternativa 2: \dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}.
\dfrac{\partial u}{\partial x}+\dfrac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=(e^{x}+e^{-x})\cos y-(e^{x}-e^{-x})\cos y.
Agrupando termos:
=(e^{x}+e^{-x}-e^{x}+e^{-x})\cos y=(2e^{-x})\cos y.
Isso não é zero em geral (por exemplo x=0,y=0 2\neq0). Portanto a alternativa 2 é falsa.

Passo 7

Agora calculamos a segunda derivada em x. Partimos de \dfrac{\partial u}{\partial x}=(e^{x}+e^{-x})\cos y e derivamos em x novamente, lembrando que \cos y é constante:
\dfrac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=(e^{x}-e^{-x})\cos y.
Repare que esta expressão é exatamente a própria função u(x,y):
\dfrac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=u(x,y).

Passo 8

Comparemos u_{xx} e u_{yy}. Encontramos
\dfrac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=(e^{x}-e^{-x})\cos y
e
\dfrac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=-(e^{x}-e^{-x})\cos y.
Portanto, somando sinais, obtemos
\dfrac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=-\dfrac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}.
Isto mostra que a alternativa 4 é verdadeira. A alternativa 3 (que pede igualdade direta u_{xx}=u_{yy}) é falsa porque os sinais são opostos.

Passo 9

Concluímos que entre as alternativas dadas apenas a alternativa 4 é satisfeita pela função u(x,y). Assim a opção “Nenhuma das alternativas” (5) é falsa.

Resposta

  1. Satisfaz a equação \dfrac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=-\dfrac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}

Exercícios relacionados