Q. 1 ( 2 pts) Sobre a função
o que se pode afirmar:
- Satisfaz a equação
- Satisfaz a equação
- Satisfaz a equação
- Satisfaz a equação
- Nenhuma das alternativas acima.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pergunta qual das alternativas abaixo é satisfeita:
-
-
-
-
- Nenhuma das alternativas acima.
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de
. A tarefa é calcular derivadas parciais (primeiras e segundas) e testar cada igualdade.
Passo 2
Vamos lembrar como calcular derivadas parciais: ao derivar em relação a
tratamos
como constante; ao derivar em relação a
tratamos
como constante. Também usamos derivadas básicas:
,
,
,
. Agora calculamos a derivada parcial de
em relação a
.
Calculemos
. Como
é constante ao derivar em
,
Passo 3
Agora calculamos
. Aqui
é constante ao derivar em
, e
. Portanto
Passo 4
Testamos a alternativa 1: somar
e
.
Isso não é zero em geral (por exemplo, em
dá
). Logo a alternativa 1 é falsa.
Passo 5
Precisamos das segundas derivadas em
. Diferenciando
em relação a
novamente, usamos
:
(Observação: também podemos ver que a segunda derivada de
é
, então
.)
Passo 6
Testamos a alternativa 2:
.
Agrupando termos:
Isso não é zero em geral (por exemplo
dá
). Portanto a alternativa 2 é falsa.
Passo 7
Agora calculamos a segunda derivada em
. Partimos de
e derivamos em
novamente, lembrando que
é constante:
Repare que esta expressão é exatamente a própria função
:
Passo 8
Comparemos
e
. Encontramos
e
Portanto, somando sinais, obtemos
Isto mostra que a alternativa 4 é verdadeira. A alternativa 3 (que pede igualdade direta
) é falsa porque os sinais são opostos.
Passo 9
Concluímos que entre as alternativas dadas apenas a alternativa 4 é satisfeita pela função
. Assim a opção “Nenhuma das alternativas” (5) é falsa.
Resposta
- Satisfaz a equação