( 0,4 \mathrm{pts} ) Calcule a função derivada das funções abaixo:
f(x)=\left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{x}} para x>0

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr)^{\frac{1}{x}},\quad x>0.
O conteúdo aqui é diferenciação de função do tipo u(x)^{v(x)}, e a técnica mais prática é usar diferenciação logarítmica.

Passo 2

Definimos
g(x)=\ln f(x).
Como f(x)=(1/x)^{1/x}, temos
g(x)=\frac{1}{x}\,\ln\!\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr) =-\frac{\ln x}{x}.

Passo 3

Calculamos g'(x) usando a regra do quociente em -\ln x/x:
g'(x) =-\frac{\bigl(\frac{1}{x}\bigr)\cdot x-\ln x\cdot1}{x^2} =-\frac{1-\ln x}{x^2} =\frac{\ln x-1}{x^2}.

Passo 4

Como f'(x)=f(x)\,g'(x) pela diferenciação logarítmica, temos
f'(x) =\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr)^{\frac{1}{x}}\;\frac{\ln x-1}{x^2}.

Resposta

f'(x)=\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr)^{\tfrac{1}{x}}\;\frac{\ln x-1}{x^2}.

Exercícios relacionados