Encontre a integral da função f(x, y, z)=z+6 sobre a superfície \varphi(u, v)=(u, v / 3, v), u \in[0,2], v \in[0,3].

Passo 1

O enunciado pede a integral de superfície
\iint_{S}f(x,y,z)\,dS
onde f(x,y,z)=z+6 e a parametrização da superfície é
\varphi(u,v)=\bigl(u,\tfrac{v}{3},v\bigr), \quad 0\le u\le2,\;0\le v\le3.
Para resolver precisamos (1) calcular os vetores \phi_u e \phi_v, (2) obter o elemento de área dS=\|\phi_u\times\phi_v\|\,du\,dv, (3) substituir f(\varphi(u,v)) e (4) integrar sobre o domínio em (u,v).

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais:
\phi_u=(1,0,0), \quad \phi_v=\bigl(0,\tfrac13,1\bigr).
O produto vetorial é
\phi_u\times\phi_v =(1,0,0)\times\bigl(0,\tfrac13,1\bigr) =(0,\,-1,\,\tfrac13).
A norma vale
\|\phi_u\times\phi_v\| =\sqrt{0^2+(-1)^2+\bigl(\tfrac13\bigr)^2} =\sqrt{1+\tfrac{1}{9}} =\sqrt{\tfrac{10}{9}} =\frac{\sqrt{10}}{3}.
Logo
dS=\frac{\sqrt{10}}{3}\,du\,dv.

Passo 3

Em seguida, calculemos f ao longo da parametrização:
f\bigl(\varphi(u,v)\bigr) =z+6 =v+6.

Passo 4

A integral de superfície torna-se
\iint_{S}f\,dS =\int_{u=0}^{2}\int_{v=0}^{3}(v+6)\,\frac{\sqrt{10}}{3}\,dv\,du =\frac{\sqrt{10}}{3} \int_{0}^{2}\!\!\int_{0}^{3}(v+6)\,dv\,du.

Passo 5

Calcule a integral em v:
\int_{0}^{3}(v+6)\,dv =\left[\frac{v^2}{2}+6v\right]_{0}^{3} =\frac{9}{2}+18 =\frac{45}{2}.
Então
\iint_{S}f\,dS =\frac{\sqrt{10}}{3}\int_{0}^{2}\frac{45}{2}\,du =\frac{\sqrt{10}}{3}\cdot\frac{45}{2}\cdot2 = \frac{45\sqrt{10}}{3} =15\sqrt{10}.

Resposta

15\sqrt{10}

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