Encontre a integral da função f(x, y, z)=x+y sobre a superfície \varphi(r, \theta)=(2 r \cos \theta, 2 r \operatorname{sen} \theta, r), r \in[0,4], \theta \in[0, \pi].

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de superfície
\iint_{S}f(x,y,z)\,dS
onde f(x,y,z)=x+y e a superfície S é dada pela parametrização
\varphi(r,\theta) = \bigl(2r\cos\theta,\;2r\sin\theta,\;r\bigr), \quad r\in[0,4],\;\theta\in[0,\pi].
O conteúdo necessário é integral de superfície via parametrização: precisamos calcular \phi_r, \phi_\theta, o módulo do produto vetorial \|\phi_r\times\phi_\theta\| e então montar a integral dupla em (r,\theta).

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de \varphi:
\phi_r = \bigl(2\cos\theta,\;2\sin\theta,\;1\bigr), \qquad \phi_\theta = \bigl(-2r\sin\theta,\;2r\cos\theta,\;0\bigr).

Passo 3

Encontrar \phi_r\times\phi_\theta e seu módulo:
\phi_r\times\phi_\theta = \bigl(-2r\cos\theta,\;-2r\sin\theta,\;4r\bigr),
\bigl\|\phi_r\times\phi_\theta\bigr\| = \sqrt{(-2r\cos\theta)^2+(-2r\sin\theta)^2+(4r)^2} = \sqrt{4r^2+16r^2} =2\sqrt{5}\,r.
Assim dS = 2\sqrt{5}\,r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Expressar f na parametrização:
f\bigl(\varphi(r,\theta)\bigr) = x+y = 2r\cos\theta +2r\sin\theta.
Logo o integrando na coordenada (r,\theta) é
\bigl(2r\cos\theta+2r\sin\theta\bigr)\cdot2\sqrt{5}\,r =4\sqrt{5}\,r^2(\cos\theta+\sin\theta).

Passo 5

Calcular a integral dupla:
\iint_{S}f\,dS =\int_{\theta=0}^{\pi}\!\int_{r=0}^{4} 4\sqrt{5}\,r^2(\cos\theta+\sin\theta)\,dr\,d\theta.
Integramos primeiro em r:
\int_{0}^{4}r^2\,dr=\frac{4^3}{3}=\frac{64}{3} \quad\Longrightarrow\quad \int_{0}^{4}4\sqrt{5}\,r^2\,dr =4\sqrt{5}\,\frac{64}{3}=\frac{256\sqrt{5}}{3}.
Depois em \theta:
\int_{0}^{\pi}(\cos\theta+\sin\theta)\,d\theta =\bigl[\sin\theta-\cos\theta\bigr]_{0}^{\pi} =(0-(-1))-\bigl(0-1\bigr)=2.
Portanto
\iint_{S}f\,dS =\frac{256\sqrt{5}}{3}\times2 =\frac{512\sqrt{5}}{3}.

Resposta

\boxed{\frac{512\sqrt{5}}{3}}.

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