A soma dos cinco primeiros termos de uma progressão geométrica de razão \frac{2}{3} é 211 .
Determine o quinto termo desta progressão.

Passo 1

O enunciado diz que a soma dos cinco primeiros termos de uma progressão geométrica de razão \tfrac{2}{3} é 211 e pede para determinar o quinto termo dessa PG. Vamos usar a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG e depois calcular o quinto termo.

Passo 2

Para uma PG de primeiro termo a e razão r, a soma dos n primeiros termos é
S_n = a \,\frac{1 - r^n}{1 - r}.
Aqui temos n=5 e r=\tfrac{2}{3}. Primeiro calculamos
r^5 = \Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^5 = \tfrac{32}{243}, \qquad 1 - r^5 = 1 - \tfrac{32}{243} = \tfrac{211}{243}, \qquad 1 - r = 1 - \tfrac{2}{3} = \tfrac{1}{3}.
Substituindo em S_5:
S_5 = a \,\frac{\tfrac{211}{243}}{\tfrac{1}{3}} = a \,\frac{211}{243}\cdot 3 = a \,\frac{211}{81}.

Passo 3

Como S_5 = 211, temos
a \,\frac{211}{81} = 211 \quad\Longrightarrow\quad a = 211 \cdot \frac{81}{211} = 81.

Passo 4

Agora o quinto termo da PG é
a_5 = a \,r^4 = 81 \,\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^4 = 81 \,\frac{16}{81} = 16.

Resposta

O quinto termo da progressão geométrica vale 16.

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