Encontre a reta tangente à função no ponto dado
f(x)=\mathrm{e}^{\left(x^{2}+2 x-3\right)}, em (1,1)

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre a reta tangente à função
f(x) = e^{\bigl(x^2 + 2x -3\bigr)}
no ponto (1,1). Para isso, precisamos calcular a derivada f'(x) (usando a regra da cadeia) e depois usar a fórmula da reta tangente a uma curva no ponto (x_0,y_0):
y - y_0 = f'(x_0)\,(x - x_0).

Passo 2

Aplicamos a regra da cadeia para derivar
f(x) = e^{u(x)},\quad u(x)=x^2+2x-3.
Sabemos que
\frac{d}{dx}e^{u(x)} = e^{u(x)}\cdot u'(x).
No nosso caso
u'(x) = 2x + 2
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f'(x) = e^{\bigl(x^2 + 2x -3\bigr)}\,(2x + 2).

Passo 3

Agora avaliamos a derivada em x=1. Primeiro o valor da função:
f(1) = e^{(1^2 + 2\cdot1 -3)} = e^0 = 1,
confirmando o ponto dado. Em seguida
f'(1) = e^{(1^2 + 2\cdot1 -3)}\,(2\cdot1 + 2) = 1 \cdot 4 = 4.

Passo 4

Usamos a fórmula da reta tangente no ponto (x_0,y_0)=(1,1):
y - 1 = 4\,(x - 1).
Rearranjando, obtemos
y = 4x - 4 + 1
y = 4x - 3.

Resposta

A reta tangente à curva é
y = 4x - 3.

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