Q 1 (2.0 ptos) Seja a função f(x, y)=\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}} se (x, y) \neq(0,0) e f(0,0)=0. Considere a curva parametrizada \sigma(t)=(2 t, 3 t), e a função composta h=f \circ \sigma.
(a) ( 1.0 pto) Determine o plano tangente ao gráfico de f pela origem, caso exista.
(b) ( 1.0 pto) Calcule a derivada h^{\prime}(t) em t=0. Mostre que a Regra da Cadeia não se aplica neste caso.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}},&(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede (a) o plano tangente ao gráfico de f em (0,0,f(0,0))=(0,0,0) e (b) a derivada de
\displaystyle h(t)=f\bigl(\sigma(t)\bigr) em t=0, onde \sigma(t)=(2t,3t).
Para o plano tangente precisamos das derivadas parciais de f em (0,0) e checar se f é diferenciável aí. Para h'(0) vamos usar o limite da definição e comparar com o que a Regra da Cadeia daria.]

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais em (0,0) pela definição:
f_x(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h} =0,
f_y(0,0) =\lim_{k\to0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k} =\lim_{k\to0}\frac{0-0}{k} =0.

Passo 3

Os coeficientes lineares dão o candidato ao plano tangente:
z =f(0,0)+f_x(0,0)\,x+f_y(0,0)\,y =0+0\cdot x+0\cdot y =0,
ou seja, a superfície z=0.

Passo 4

Verificamos se f é realmente diferenciável em (0,0). Para isso, estudamos
\frac{f(x,y)-0}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} =\frac{\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} =\frac{x^{2}y}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}.
Tomando x=y=t\neq0, obtemos
\frac{f(t,t)}{\sqrt{2t^{2}}} =\frac{\frac{t^{3}}{2t^{2}}}{\sqrt{2}\,|t|} =\frac{t/2}{\sqrt{2}\,|t|} =\frac{1}{2\sqrt{2}} \neq0.
Como esse quociente não tende a zero, f não satisfaz a definição de diferenciabilidade em (0,0). Consequentemente, não existe plano tangente ao gráfico de f na origem.

Passo 5

Agora h(t)=f(2t,3t). Para t\neq0:
h(t) =\frac{(2t)^{2}\,(3t)}{(2t)^{2}+(3t)^{2}} =\frac{12\,t^{3}}{4t^{2}+9t^{2}} =\frac{12\,t^{3}}{13\,t^{2}} =\frac{12}{13}\,t.
E h(0)=f(0,0)=0. Logo
h(t)=\frac{12}{13}\,t \quad\forall t,
e a derivada em 0 pela definição é
h'(0) =\lim_{t\to0}\frac{h(t)-h(0)}{t} =\lim_{t\to0}\frac{\frac{12}{13}t-0}{t} =\frac{12}{13}.

Passo 6

A Regra da Cadeia exige que f seja diferenciável em (0,0). Se aplicássemos formalmente teríamos
h'(0) =\nabla f(0,0)\cdot\sigma'(0) =(f_x(0,0),f_y(0,0))\cdot(2,3) =(0,0)\cdot(2,3) =0,
mas o valor verdadeiro de h'(0) é \tfrac{12}{13}. Portanto a Regra da Cadeia não se aplica, pois f não é diferenciável na origem.

Resposta

(a) Não existe plano tangente ao gráfico de f em (0,0) porque f não é diferenciável aí.
(b) h'(0)=\tfrac{12}{13}, e a Regra da Cadeia falha porque f não é diferenciável em (0,0).

Exercícios relacionados