Q 1 (2.0 ptos) Seja a função f(x, y)=\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}} se (x, y) \neq(0,0) e f(0,0)=0. Considere a curva parametrizada \sigma(t)=(2 t, 3 t), e a função composta h=f \circ \sigma.
(a) ( 1.0 pto) Determine o plano tangente ao gráfico de f pela origem, caso exista.
(b) ( 1.0 pto) Calcule a derivada h^{\prime}(t) em t=0. Mostre que a Regra da Cadeia não se aplica neste caso.
e pede (a) o plano tangente ao gráfico de f em (0,0,f(0,0))=(0,0,0) e (b) a derivada de \displaystyle h(t)=f\bigl(\sigma(t)\bigr) em t=0, onde \sigma(t)=(2t,3t).
Para o plano tangente precisamos das derivadas parciais de f em (0,0) e checar se f é diferenciável aí. Para h'(0) vamos usar o limite da definição e comparar com o que a Regra da Cadeia daria.]
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais em (0,0) pela definição:
Como esse quociente não tende a zero, f não satisfaz a definição de diferenciabilidade em (0,0). Consequentemente, não existe plano tangente ao gráfico de f na origem.
mas o valor verdadeiro de h'(0) é \tfrac{12}{13}. Portanto a Regra da Cadeia não se aplica, pois f não é diferenciável na origem.
Resposta
(a) Não existe plano tangente ao gráfico de f em (0,0) porque f não é diferenciável aí.
(b) h'(0)=\tfrac{12}{13}, e a Regra da Cadeia falha porque f não é diferenciável em (0,0).