Um projétil é lançado e sua altura é dada pela função
, com
. Determine a altura máxima atingida.
Passo 1
O enunciado dá a altura do projétil como a função
, com
.
O que é pedido: determinar a altura máxima atingida pelo projétil (ou seja, o maior valor de quando
varia no intervalo dado).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O que é pedido: determinar a altura máxima atingida pelo projétil (ou seja, o maior valor de
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função que descreve a altura é
. - O domínio considerado é o intervalo fechado
.
Passo 2
Entender a forma da curva (intuição útil). A expressão é um polinômio quadrático da forma geral
. Aqui:
Quando
(aqui
), a parábola abre para baixo — isso significa que a função tem um único ponto mais alto (um máximo), localizado no vértice da parábola. Portanto existe um máximo interior (possivelmente fora do intervalo) e também devemos comparar com os valores nas extremidades do intervalo
.
Passo 3
Método principal: completar o quadrado para escrever a parábola na forma vértice, que deixa o máximo explícito. Vou transformar
passo a passo.
Primeiro fatorar
dos termos quadrático e linear:
Agora completar o quadrado dentro do parêntese. Lembre que
pois
, então subtrai-se o
para compensar. Substituindo:
Distribuir o
:
Somar os constantes:
Passo 4
Interpretação da forma vértice: a expressão
está na forma
onde
é o vértice da parábola. Aqui
e
. Como o coeficiente de
é negativo (
), a parábola atinge seu valor máximo exatamente quando
, isto é em
, e o valor máximo é
.
Passo 5
Verificações extras (boas práticas para prova):
- Verificar que
está dentro do domínio dado: — então o máximo interior é válido para o intervalo. - Comparar com os extremos do intervalo:
Ambos os extremos dão
, bem menores que
. Logo o máximo no intervalo é realmente
atingido em
.
- (Checagem alternativa rápida) Usando derivada:
. Zerando obtém-se . Como , é um máximo local. Confirmação consistente com a forma completada.
Passo 6
Conclusão: a altura máxima atingida pelo projétil, no intervalo considerado, é
.
Resposta
A altura máxima é
.