Um projétil é lançado e sua altura é dada pela função h(t)=-5 t^{2}+20 t+2, com t \in[0,4]. Determine a altura máxima atingida.

Passo 1

O enunciado dá a altura do projétil como a função \,h(t)=-5 t^{2}+20 t+2, com t\in[0,4].
O que é pedido: determinar a altura máxima atingida pelo projétil (ou seja, o maior valor de \,h(t)\, quando t varia no intervalo dado).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função que descreve a altura é \,h(t)=-5 t^{2}+20 t+2.
  • O domínio considerado é o intervalo fechado [0,4].

Passo 2

Entender a forma da curva (intuição útil). A expressão é um polinômio quadrático da forma geral \,h(t)=a t^{2}+b t+c. Aqui:
a=-5,\qquad b=20,\qquad c=2.
Quando a<0 (aqui a=-5<0), a parábola abre para baixo — isso significa que a função tem um único ponto mais alto (um máximo), localizado no vértice da parábola. Portanto existe um máximo interior (possivelmente fora do intervalo) e também devemos comparar com os valores nas extremidades do intervalo [0,4].

Passo 3

Método principal: completar o quadrado para escrever a parábola na forma vértice, que deixa o máximo explícito. Vou transformar \,h(t)=-5 t^{2}+20 t+2 passo a passo.
Primeiro fatorar -5 dos termos quadrático e linear:
h(t)=-5\bigl(t^{2}-4t\bigr)+2.
Agora completar o quadrado dentro do parêntese. Lembre que
t^{2}-4t=(t-2)^{2}-4,
pois (t-2)^{2}=t^{2}-4t+4, então subtrai-se o 4 para compensar. Substituindo:
h(t)=-5\bigl((t-2)^{2}-4\bigr)+2.
Distribuir o -5:
h(t)=-5(t-2)^{2}+20+2.
Somar os constantes:
h(t)=-5(t-2)^{2}+22.

Passo 4

Interpretação da forma vértice: a expressão \,h(t)=-5(t-2)^{2}+22 está na forma
h(t)=a(t-t_v)^{2}+h_v,
onde (t_v,h_v) é o vértice da parábola. Aqui t_v=2 e h_v=22. Como o coeficiente de (t-2)^{2} é negativo ( -5), a parábola atinge seu valor máximo exatamente quando (t-2)^{2}=0, isto é em t=2, e o valor máximo é h(2)=22.

Passo 5

Verificações extras (boas práticas para prova):
  • Verificar que t=2 está dentro do domínio dado: 2\in[0,4] — então o máximo interior é válido para o intervalo.
  • Comparar com os extremos do intervalo: h(0)= -5\cdot0^{2}+20\cdot0+2=2,
h(4)= -5\cdot4^{2}+20\cdot4+2 = -5\cdot16+80+2= -80+80+2=2.
Ambos os extremos dão 2, bem menores que 22. Logo o máximo no intervalo é realmente 22 atingido em t=2.
  • (Checagem alternativa rápida) Usando derivada: \,h'(t)=-10t+20. Zerando -10t+20=0 obtém-se t=2. Como \,h''(t)=-10<0, é um máximo local. Confirmação consistente com a forma completada.

Passo 6

Conclusão: a altura máxima atingida pelo projétil, no intervalo considerado, é 22.

Resposta

A altura máxima é 22.

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