Questão 2. (Peso: 15%) A atmosfera padrão adotada nos Estados Unidos possui uma temperatura uniforme igual a T_{s}=-56,5^{\circ} \mathrm{C} em uma região da estratosfera entre z_{1}=11000 \mathrm{~m}, onde a pressão é p_{1}=22612 \mathrm{~Pa}, e z_{2}=20100 \mathrm{~m}. Assumindo o ar como um gás ideal com constante \bar{R}=287 \mathrm{J} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}), determine uma relação para a distribuição de pressão nessa camada da atmosfera e calcule a pressão e a densidade em z=13000 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado descreve uma camada isoterma da estratosfera entre z_{1}=11000\\ \mathrm{m} e z_{2}=20100\\ \mathrm{m}, com temperatura uniforme
T_{s}=-56{,}5^\circ\mathrm{C}=216{,}65\\ \mathrm{K}.
Em z_{1} a pressão é p_{1}=22612\\ \mathrm{Pa}. Vamos modelar o ar como gás ideal com constante \bar R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} e usar a condição de equilíbrio hidrostático
\frac{dp}{dz} = -\rho\,g,
além da equação do gás ideal
p=\rho\,\bar R\,T_{s}.

Passo 2

Substituindo \rho=p/(\bar R T_{s}) em \frac{dp}{dz}=-\rho\,g obtemos
\frac{dp}{dz} = -\frac{p}{\bar R\,T_{s}}\,g \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{p}\,dp = -\frac{g}{\bar R\,T_{s}}\,dz.
Integrando de z_{1} a z e de p_{1} a p(z), vem
\ln\!\biggl(\frac{p(z)}{p_{1}}\biggr) = -\frac{g}{\bar R\,T_{s}}\,(z - z_{1})
e portanto
\boxed{p(z) = p_{1}\,\exp\!\Bigl[-\tfrac{g}{\bar R\,T_{s}}\,(z - z_{1})\Bigr].}

Passo 3

Para z=13000\\ \mathrm{m} temos \Delta z = 13000 - 11000 = 2000\\ \mathrm{m}. Usando g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}:
p(13000) =22612\;\exp\!\Bigl[-\frac{9{,}81\cdot2000}{287\cdot216{,}65}\Bigr].
Calculemos o expoente:
\frac{9{,}81\cdot2000}{287\cdot216{,}65}\approx0{,}3156,
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p(13000)\approx22612\;e^{-0{,}3156}\approx1{,}65\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

A densidade em z=13000\\ \mathrm{m} vem de \rho=p/(\bar R\,T_{s}):
\rho(13000) =\frac{1{,}65\times10^{4}}{287\cdot216{,}65} \approx0{,}265\\ \mathrm{kg/m^{3}}.

Resposta

A relação de pressão é
p(z)=p_{1}\,\exp\!\Bigl[-\tfrac{g}{\bar R\,T_{s}}\,(z - z_{1})\Bigr].
Em z=13000\\ \mathrm{m}:
p\approx1{,}65\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}
\rho\approx0{,}265\\ \mathrm{kg/m^{3}}.

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