(1,5 pts) Prove que
Passo 1
O enunciado pede que calculemos três limites envolvendo funções racionais e polinomiais. As perguntas são:
-
. -
. -
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Todas as expressões são racionais (razão de polinômios) ou polinomiais.
- Os comportamentos pedidos são em
, ou ambos. - Não há valores numéricos adicionais; devemos usar propriedades de limites no infinito e manipulações algébricas.
Passo 2
Vou explicar a ideia geral que uso nos três problemas (aulas rápidas, mas essenciais):
- Para limites no infinito de razões de polinômios, o termo de maior grau (termo dominante) determina o comportamento. Por exemplo, em
: - Se
, o limite tende para (razão dos coeficientes líderes). - Se
, o limite tende para (denominador cresce mais rápido). - Se
, o quociente cresce em módulo para ou dependendo dos sinais (às vezes faz sentido dividir para ver o sinal).
- Se
- Uma maneira prática e rigorosa de aplicar isso é dividir numerador e denominador pela maior potência de
presente (por exemplo, por se o maior grau for , por se for ), e observar que os termos com , , … tendem a quando . - Para o caso de um polinômio dividido por um polinômio de grau menor (como
), também é útil fazer a divisão polinomial (ou divisão sintética) para escrever a expressão como polinômio + resto/(denominador) e analisar cada parte separadamente.
Vou aplicar essas ideias passo a passo em cada limite.
Passo 3
Cálculo do primeiro limite
Método: dividir numerador e denominador por
(maior potência presente), e usar que
e
quando
.
Divide-se:
Agora observe que, tanto para
quanto para
, temos
e
. Assim, ao tomar o limite:
Portanto o limite pedido é
para ambos os sentidos
e
.
Passo 4
Cálculo do segundo limite
Aqui o denominador tem grau maior (
) que o numerador (
). Método: dividir por
(maior potência do denominador).
Fazendo a divisão:
Quando
as parcelas
tendem a
. Logo
Portanto o limite é
tanto para
quanto para
.
Passo 5
Cálculo do terceiro limite
Aqui o numerador tem grau
e o denominador grau
, então o quociente tende a infinito em módulo. Para saber o sinal e ser mais explícito, faço a divisão polinomial (ou sintética).
Dividindo
por
(divisão sintética com
):
- Coeficientes:
. - Trazer
. Multiplicar por dá . Somar a dá . Multiplicar por dá . Somar a dá . Multiplicar por dá . Somar a dá (resto).
Assim obtemos:
Agora analisamos o comportamento quando
:
- O termo
é sempre não negativo e cresce sem limite para quando . Em particular, quando , . - O termo
quando também tende para (porque é grande positivo). - O termo constante
é insignificante frente a . - O termo
tende para quando .
Somando esses fatos, a expressão
tende para
quando
(o crescimento de
domina e é positivo). Portanto o limite é
.
Passo 6
Resumo intuitivo (um empurrãozinho para memorizar):
- Se os graus são iguais, compare coeficientes líderes (ex.: primeiro limite dá
). - Se o denominador tem grau maior, o limite é
. - Se o numerador tem grau maior, o quociente tende a infinito em módulo; use divisão polinomial para verificar o sinal quando necessário.