(1,5 pts) Prove que
\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{6 x^{2}-5 x+1}{2 x^{2}+7 x-8}=3, \quad \lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{x^{2}-x+1}{x^{3}+5}=0, \quad \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{3}+7 x-4}{x+1}=+\infty

Passo 1

O enunciado pede que calculemos três limites envolvendo funções racionais e polinomiais. As perguntas são:
  1. \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty} \frac{6x^{2}-5x+1}{2x^{2}+7x-8}.
  2. \displaystyle \lim_{x\to \pm\infty} \frac{x^{2}-x+1}{x^{3}+5}.
  3. \displaystyle \lim_{x\to -\infty} \frac{x^{3}+7x-4}{x+1}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Todas as expressões são racionais (razão de polinômios) ou polinomiais.
  • Os comportamentos pedidos são em x\to +\infty, x\to -\infty ou ambos.
  • Não há valores numéricos adicionais; devemos usar propriedades de limites no infinito e manipulações algébricas.

Passo 2

Vou explicar a ideia geral que uso nos três problemas (aulas rápidas, mas essenciais):
  • Para limites no infinito de razões de polinômios, o termo de maior grau (termo dominante) determina o comportamento. Por exemplo, em \dfrac{a_n x^n + \cdots}{b_m x^m + \cdots}:
    • Se n=m, o limite tende para \dfrac{a_n}{b_m} (razão dos coeficientes líderes).
    • Se n<m, o limite tende para 0 (denominador cresce mais rápido).
    • Se n>m, o quociente cresce em módulo para +\infty ou -\infty dependendo dos sinais (às vezes faz sentido dividir para ver o sinal).
  • Uma maneira prática e rigorosa de aplicar isso é dividir numerador e denominador pela maior potência de x presente (por exemplo, por x^2 se o maior grau for 2, por x^3 se for 3), e observar que os termos com 1/x, 1/x^2, … tendem a 0 quando x\to\pm\infty.
  • Para o caso de um polinômio dividido por um polinômio de grau menor (como x^3/(x+1)), também é útil fazer a divisão polinomial (ou divisão sintética) para escrever a expressão como polinômio + resto/(denominador) e analisar cada parte separadamente.
Vou aplicar essas ideias passo a passo em cada limite.

Passo 3

Cálculo do primeiro limite
\lim_{x\to \pm\infty} \frac{6x^{2}-5x+1}{2x^{2}+7x-8}.
Método: dividir numerador e denominador por x^{2} (maior potência presente), e usar que \dfrac{1}{x}\to 0 e \dfrac{1}{x^{2}}\to 0 quando x\to\pm\infty.
Divide-se:
\frac{6x^{2}-5x+1}{2x^{2}+7x-8} = \frac{x^{2}\left(6-\dfrac{5}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}\right)}{x^{2}\left(2+\dfrac{7}{x}-\dfrac{8}{x^{2}}\right)} = \frac{6-\dfrac{5}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}{2+\dfrac{7}{x}-\dfrac{8}{x^{2}}}.
Agora observe que, tanto para x\to +\infty quanto para x\to -\infty, temos \dfrac{1}{x}\to 0 e \dfrac{1}{x^{2}}\to 0. Assim, ao tomar o limite:
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{6-\dfrac{5}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}{2+\dfrac{7}{x}-\dfrac{8}{x^{2}}} = \frac{6-0+0}{2+0-0} = \frac{6}{2} = 3.
Portanto o limite pedido é 3 para ambos os sentidos +\infty e -\infty.

Passo 4

Cálculo do segundo limite
\lim_{x\to \pm\infty} \frac{x^{2}-x+1}{x^{3}+5}.
Aqui o denominador tem grau maior ( 3) que o numerador ( 2). Método: dividir por x^{3} (maior potência do denominador).
Fazendo a divisão:
\frac{x^{2}-x+1}{x^{3}+5} = \frac{x^{3}\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}\right)}{x^{3}\left(1+\dfrac{5}{x^{3}}\right)} = \frac{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}}{1+\dfrac{5}{x^{3}}}.
Quando x\to\pm\infty as parcelas \dfrac{1}{x},\dfrac{1}{x^{2}},\dfrac{1}{x^{3}} tendem a 0. Logo
\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}}{1+\dfrac{5}{x^{3}}} = \frac{0-0+0}{1+0} = 0.
Portanto o limite é 0 tanto para x\to +\infty quanto para x\to -\infty.

Passo 5

Cálculo do terceiro limite
\lim_{x\to -\infty} \frac{x^{3}+7x-4}{x+1}.
Aqui o numerador tem grau 3 e o denominador grau 1, então o quociente tende a infinito em módulo. Para saber o sinal e ser mais explícito, faço a divisão polinomial (ou sintética).
Dividindo x^{3}+0x^{2}+7x-4 por x+1 (divisão sintética com -1):
  • Coeficientes: 1,\;0,\;7,\;-4.
  • Trazer 1. Multiplicar por -1 -1. Somar a 0 -1. Multiplicar por -1 1. Somar a 7 8. Multiplicar por -1 -8. Somar a -4 -12 (resto).
Assim obtemos:
\frac{x^{3}+7x-4}{x+1} = x^{2}-x+8 - \frac{12}{x+1}.
Agora analisamos o comportamento quando x\to -\infty:
  • O termo x^{2} é sempre não negativo e cresce sem limite para +\infty quando |x|\to\infty. Em particular, quando x\to -\infty, x^{2}\to +\infty.
  • O termo -x quando x\to -\infty também tende para +\infty (porque -x é grande positivo).
  • O termo constante 8 é insignificante frente a x^{2}.
  • O termo -\dfrac{12}{x+1} tende para 0 quando x\to -\infty.
Somando esses fatos, a expressão x^{2}-x+8 - \dfrac{12}{x+1} tende para +\infty quando x\to -\infty (o crescimento de x^{2} domina e é positivo). Portanto o limite é +\infty.

Passo 6

Resumo intuitivo (um empurrãozinho para memorizar):
  • Se os graus são iguais, compare coeficientes líderes (ex.: primeiro limite dá 6/2=3).
  • Se o denominador tem grau maior, o limite é 0.
  • Se o numerador tem grau maior, o quociente tende a infinito em módulo; use divisão polinomial para verificar o sinal quando necessário.

Resposta

\displaystyle 3\n \displaystyle 0\n \displaystyle +\infty

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