Escreva uma EDO linear homogênea cuja solução geral é dada por
y=A x^{2}+B x+C+D e^{-2 x}+E x e^{-2 x}+F \sin x+G \cos x
onde A, B, C, D, E, F e G são constantes. R: y^{(7)}+4 y^{(6)}+5 y^{(5)}+4 y^{(4)}+4 y^{\prime \prime \prime}=0

Passo 1

O enunciado pede que eu construa uma equação diferencial ordinária linear homogênea com coeficientes constantes cuja solução geral é
y=A x^{2}+B x+C+D e^{-2 x}+E x e^{-2 x}+F \sin x+G \cos x
As informações relevantes dadas pelo enunciado são:
  • A solução geral é a soma de sete funções independentes: \;1,\;x,\;x^{2},\;e^{-2x},\;x e^{-2x},\;\sin x,\;\cos x.
  • Os coeficientes A,B,C,D,E,F,G são constantes arbitrárias (7 constantes).
  • Preciso encontrar uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes cuja família de soluções seja exatamente essa.

Passo 2

Ideia chave (aula rápida e intuitiva): para equações lineares com coeficientes constantes, há uma correspondência entre as soluções básicas e as raízes do polinômio característico.
  • Se r é raiz simples do polinômio característico, então e^{r x} é solução.
  • Se r é raiz com multiplicidade m, então e^{r x},\; x e^{r x},\; x^{2} e^{r x},\dots,x^{m-1} e^{r x} são soluções independentes.
  • Se aparecem raízes complexas conjuntas a\pm ib, então as combinações reais \mathrm{e}^{a x}\cos(bx) e \mathrm{e}^{a x}\sin(bx) aparecem entre as soluções.
    Esses princípios permitem montar o polinômio característico a partir das funções que aparecem na solução geral.

Passo 3

Identifico as raízes e suas multiplicidades a partir dos termos da solução:
  • As funções \;1,\;x,\;x^{2} correspondem a e^{0\cdot x},\;x e^{0\cdot x},\;x^{2} e^{0\cdot x}. Logo r=0 é raiz com multiplicidade 3.
  • As funções \;e^{-2x},\;x e^{-2x} correspondem a r=-2 com multiplicidade 2.
  • As funções \;\sin x,\;\cos x correspondem ao par complexo r=\pm i (ou seja, fator r^{2}+1) com multiplicidade 1 cada.
    Portanto o polinômio característico (até constante multiplicativa) é
p(r)=r^{3}(r+2)^{2}(r^{2}+1).

Passo 4

Vou expandir o polinômio passo a passo para obter os coeficientes da EDO. Primeiro calculemos (r+2)^{2}:
(r+2)^{2}=r^{2}+4r+4.
Multiplico isso por r^{3}:
r^{3}(r^{2}+4r+4)=r^{5}+4r^{4}+4r^{3}.
Agora multiplico pelo fator (r^{2}+1):
\bigl(r^{5}+4r^{4}+4r^{3}\bigr)(r^{2}+1).

Passo 5

Faço a multiplicação final distribuindo termo a termo:
\begin{aligned} \bigl(r^{5}+4r^{4}+4r^{3}\bigr)(r^{2}+1) &= r^{5}\cdot r^{2} + r^{5}\cdot 1 + 4r^{4}\cdot r^{2} + 4r^{4}\cdot 1 + 4r^{3}\cdot r^{2} + 4r^{3}\cdot 1 \\\ &= r^{7} + r^{5} + 4r^{6} + 4r^{4} + 4r^{5} + 4r^{3}. \end{aligned}
Agora agrupo os termos semelhantes ( r^{5} aparece duas vezes):
r^{7} + 4r^{6} + (1+4)r^{5} + 4r^{4} + 4r^{3} = r^{7} + 4r^{6} + 5r^{5} + 4r^{4} + 4r^{3}.
Assim o polinômio característico fica
p(r)=r^{7} + 4r^{6} + 5r^{5} + 4r^{4} + 4r^{3}.

Passo 6

Tradução para a equação diferencial: se o polinômio característico é
p(r)=r^{7} + 4r^{6} + 5r^{5} + 4r^{4} + 4r^{3},
então a EDO linear homogênea com coeficientes constantes correspondente é obtida substituindo r^{k} por a derivada y^{(k)}. Assim a equação é
y^{(7)}+4y^{(6)}+5y^{(5)}+4y^{(4)}+4y^{(3)}=0.
Observações rápidas: não aparecem termos de ordem menor que 3 porque os coeficientes desses r^{2},r, r^{0} são zero no polinômio expandido; a ordem da EDO é 7, compatível com as 7 constantes arbitrárias A,B,C,D,E,F,G.

Resposta

y^{(7)}+4y^{(6)}+5y^{(5)}+4y^{(4)}+4y^{(3)}=0

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