Escreva uma EDO linear homogênea cuja solução geral é dada por
onde
e
são constantes. R:
Passo 1
O enunciado pede que eu construa uma equação diferencial ordinária linear homogênea com coeficientes constantes cuja solução geral é
As informações relevantes dadas pelo enunciado são:
- A solução geral é a soma de sete funções independentes:
. - Os coeficientes
são constantes arbitrárias (7 constantes). - Preciso encontrar uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes cuja família de soluções seja exatamente essa.
Passo 2
Ideia chave (aula rápida e intuitiva): para equações lineares com coeficientes constantes, há uma correspondência entre as soluções básicas e as raízes do polinômio característico.
- Se
é raiz simples do polinômio característico, então é solução. - Se
é raiz com multiplicidade , então são soluções independentes. - Se aparecem raízes complexas conjuntas
, então as combinações reais e aparecem entre as soluções.
Esses princípios permitem montar o polinômio característico a partir das funções que aparecem na solução geral.
Passo 3
Identifico as raízes e suas multiplicidades a partir dos termos da solução:
- As funções
correspondem a . Logo é raiz com multiplicidade . - As funções
correspondem a com multiplicidade . - As funções
correspondem ao par complexo (ou seja, fator ) com multiplicidade cada.
Portanto o polinômio característico (até constante multiplicativa) é
Passo 4
Vou expandir o polinômio passo a passo para obter os coeficientes da EDO. Primeiro calculemos
:
Multiplico isso por
:
Agora multiplico pelo fator
:
Passo 5
Faço a multiplicação final distribuindo termo a termo:
Agora agrupo os termos semelhantes (
aparece duas vezes):
Assim o polinômio característico fica
Passo 6
Tradução para a equação diferencial: se o polinômio característico é
então a EDO linear homogênea com coeficientes constantes correspondente é obtida substituindo
por a derivada
. Assim a equação é
Observações rápidas: não aparecem termos de ordem menor que
porque os coeficientes desses
são zero no polinômio expandido; a ordem da EDO é
, compatível com as 7 constantes arbitrárias
.