5^{\mathrm{a}} Questão: Calcular o valor da parcela de amortização referente à 12^{\mathrm{a}} parcela de um empréstimo de \ 100.000,00 , feito em 24 prestações mensais e iguais, no Sistema Francês de Amortização, à taxa deçõêçãà3,5 % ao mês, após o pagamento daêó13^{\mathrm{a}}$ prestação.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a parcela de amortização referente à 12^{\mathrm{a}} prestação de um empréstimo de \$\,100.000{,}00, tomado em 24 prestações mensais e iguais, no Sistema Francês de Amortização (Price), à taxa de 3{,}5\% ao mês, considerando que isso é requerido “após o pagamento da 13^{\mathrm{a}} prestação”. Dados fornecidos e o que devemos obter:
\;P = \$\,100.000{,}00 (capital inicial),
\;n = 24 (número total de prestações),
\;i = 3{,}5\% \text{ ao mês} = 0{,}035ê,
queremos o valor da parcela de amortização correspondente à 12^{\mathrm{a}} prestação (ou seja, a parte da prestação que reduz o saldo devedor nessa parcela).

Passo 2

Entendendo o que é necessário calcular (sem resolver ainda): no Sistema Francês (Price) as prestações mensais são constantes (mesmo valor A). Cada prestação A é composta de duas partes: juros sobre o saldo devedor do período e amortização (redução do principal). A parte de amortização da k-ésima prestação é
\text{amortização}_k = A - \text{juros}_k,çã
onde \text{juros}_k = i\cdot B_{k-1} e B_{k-1} é o saldo devedor imediatamente antes do pagamento da k-ésima prestação (ou seja, depois do pagamento da k-1-ésima). Para encontrar a amortização da 12^{\mathrm{a}} prestação precisamos portanto calcular A e o saldo B_{11} (saldo antes da 12ª prestação).

Passo 3

Fórmula da prestação constante A no sistema Price (anuidade):
A = P\cdot \frac{i}{1-(1+i)^{-n}}.
Aqui:
  • P é o capital inicial ( \$\,100.000{,}00),
  • i é a taxa por período ( 0{,}035),
  • n é o número de prestações ( 24),
  • A é o valor da prestação mensal (constante).
Vamos calcular A. Primeiro calculamos (1+i)^{24} com i=0{,}035. Vou mostrar potências intermediárias (apenas resultados) para não perder a noção:
\begin{aligned} (1{,}035)^{1} &= 1{,}035,\\\ (1{,}035)^{2} &= 1{,}071225,\\\ (1{,}035)^{4} &\approx 1{,}149559536625,\\\ (1{,}035)^{8} &\approx 1{,}320299301688886,\\\ (1{,}035)^{16} &\approx 1{,}7385820519599185, \end{aligned}
e combinando (já calculado passo a passo) obtemos
(1{,}035)^{24} \approx 2{,}289380557523079.
Logo
(1+i)^{-24} \approx \frac{1}{2{,}289380557523079} \approx 0{,}436800.
Agora a fórmula de A:
A = 100000\cdot \frac{0{,}035}{1-0{,}436800} = 100000\cdot \frac{0{,}035}{0{,}563200} .
Podemos usar a forma equivalente (às vezes numericamente mais direta):
A = P\cdot \frac{i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}.
Substituindo os números:
A \approx 100000\cdot \frac{0{,}035\cdot 2{,}289380557523079}{2{,}289380557523079-1} = \frac{100000\cdot 0{,}08012831951330776}{1{,}289380557523079}.
Fazendo a divisão obtemos
A \approx 6214{,}389\\ (\text{dólares por mês}).óê
Arredondando para centavos: \;A \approx \$\,6.214{,}39.

Passo 4

Agora vamos obter o saldo devedor imediatamente antes da 12^{\mathrm{a}} prestação, isto é B_{11}. Uma maneira simples de ver o saldo após k pagamentos é considerar o valor presente (PV) das prestações restantes: o saldo B_{k} (após o pagamento k) é o valor presente das n-k prestações restantes. Assim o saldo antes da 12^{\mathrm{a}} prestação (que é o saldo após a 11^{\mathrm{a}} prestação) é
B_{11} = A\cdot \frac{1-(1+i)^{-(n-11)}}{i}.
Aqui n-11 = 24-11 = 13, porque restam 13 prestações (da 12ª até a 24ª).
Explicando as variáveis:
  • B_{11} é o saldo devedor imediato antes da 12ª prestação,
  • A é a prestação constante calculada no passo anterior,
  • (1+i)^{-(n-11)} é o fator de desconto para as 13 prestações restantes,
  • a divisão por i transforma a soma geométrica de prestações em fator de anuidade.

Passo 5

Calculemos B_{11}. Primeiro precisamos de (1+i)^{-13}. Usando os valores já calculados:
(1{,}035)^{13} \approx 1{,}568101399971557 \quad\Rightarrow\quad (1{,}035)^{-13}\approx 0{,}637685251.
Então
\frac{1-(1+i)^{-13}}{i} = \frac{1-0{,}637685251}{0{,}035} = \frac{0{,}362314749}{0{,}035} \approx 10{,}35184997.
Multiplicando por A:
B_{11} = A\cdot 10{,}35184997 \approx 6214{,}389\cdot 10{,}35184997 \approx 64\,330{,}423.
Arredondando para centavos: \;B_{11} \approx \$\,64.330{,}42.

Passo 6

Calculemos os juros que incidem sobre a 12^{\mathrm{a}} prestação: são os juros sobre o saldo antes da 12ª prestação,
\text{juros}_{12} = i\cdot B_{11} = 0{,}035\cdot 64\,330{,}423 \approx 2\,251{,}5648.
Arredondando: \text{juros}_{12} \approx \$\,2.251{,}56.

Passo 7

Finalmente a parcela de amortização referente à 12^{\mathrm{a}} prestação é
\text{amortização}_{12} = A - \text{juros}_{12} \approx 6\,214{,}389 - 2\,251{,}5648 \approx 3\,962{,}8242.çã
Arredondando para centavos: \text{amortização}_{12} \approx \$\,3.962{,}82çã.
Observação sobre a frase “após o pagamento da 13^{\mathrm{a}} prestação”: o valor da amortização de uma prestação passada (a 12ª) é determinado pelo cronograma e não muda depois que já foi paga; portanto calcular agora ou antes do pagamento da 13ª não altera o valor da amortização da 12ª. O procedimento acima dá o valor real da amortização da 12ª prestação.

Resposta

\$\,3.962{,}82

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