4{ }^{\text {a }} Questão: Um empréstimo de \ 22.000,00 será liquidado em três prestações mensais e sucessivas deáêçõ$12.000,00, $ 5.000,00 e$8.000,00$. Considerando uma taxa de juros de 7% ao mês, pergunta-se:
a) Qual o Valor Presente Líquido?
b) A taxa cobrada no empréstimo é superior ou inferior a 7 \% ?

Passo 1

O enunciado dá um empréstimo de \$22.000,00 que será quitado por três prestações mensais e sucessivas: \$12.000,00 (após 1 mês), \$5.000,00 (após 2 meses) e \$8.000,00 (após 3 meses). A taxa considerada no enunciado é de 7\% ao mês.
As perguntas são:
a) Qual o Valor Presente Líquido (VPL) dessa operação, usando a taxa de 7\% ao mês?
b) A taxa efetivamente cobrada no empréstimo é superior ou inferior a 7\%?

Passo 2

Explicação do conceito e da fórmula que vamos usar (passo-a-passo didático).
  • O Valor Presente (PV) de uma prestação futura é o quanto essa prestação vale hoje, trazida a valor presente descontando juros. Se uma quantia C_t é paga no tempo t (meses), o valor presente dessa quantia, descontando a uma taxa de juros i por mês, é dado por:
\text{PV}_t=\frac{C_t}{(1+i)^t}.
Aqui:
  • C_t é o valor da prestação paga no mês t;
  • i é a taxa por período (no nosso caso i=7\% ao mês, isto é i=0,07);
  • t é o número de períodos (meses) até o pagamento.
  • O Valor Presente das prestações (soma dos PVs) é
\text{PV}_{\text{total}}=\sum_{t=1}^{3}\frac{C_t}{(1+i)^t}.
  • O Valor Presente Líquido (VPL) da operação, do ponto de vista do credor (quem empresta \$22.000,00 hoje), é a diferença entre o PV das entradas futuras (as prestações recebidas) e o desembolso inicial:
\text{VPL}=\text{PV}_{\text{total}}-\text{Empréstimo\\ inicial}.é
Se \text{VPL}>0 significa que, descontando à taxa i, o empréstimo traz ganho (ou seja, a taxa efetiva cobrada é maior que i). Se \text{VPL}<0, a taxa efetiva cobrada é menor que i.

Passo 3

Calcular os fatores de desconto com i=7\% ao mês. Escrevemos 1+i=1,07. Precisamos de:
(1,07)^2=1,07\times1,07=1,1449
(1,07)^3=1,1449\times1,07=1,225043
Esses denominadores serão usados nas divisões para trazer cada prestação a valor presente.

Passo 4

Calcular o valor presente de cada prestação (mostrando cada conta):
  • Prestação do mês 1: C_1=\$12.000,00.
\text{PV}_1=\frac{12.000}{1,07} \approx \; \frac{12.000}{1,07}=11.214,0187\;\Rightarrow\; \$11.214,02
  • Prestação do mês 2: C_2=\$5.000,00.
\text{PV}_2=\frac{5.000}{(1,07)^2}=\frac{5.000}{1,1449}\approx 4.367,4325\;\Rightarrow\; \$4.367,43
  • Prestação do mês 3: C_3=\$8.000,00.
\text{PV}_3=\frac{8.000}{(1,07)^3}=\frac{8.000}{1,225043}\approx 6.529,6299\;\Rightarrow\; \$6.529,63

Passo 5

Somar os valores presentes das três prestações para obter o \text{PV}_{\text{total}}:
\text{PV}_{\text{total}}=\text{PV}_1+\text{PV}_2+\text{PV}_3
\text{PV}_{\text{total}}\approx 11.214,02 + 4.367,43 + 6.529,63 = 22.111,08
Agora o VPL (subtraindo o empréstimo inicial de \$22.000,00):
\text{VPL}=\;22.111,08 - 22.000,00 = 111,08
Ou seja, o VPL é positivo e vale \$111,08 (arredondado aos centavos).

Passo 6

Interpretação e resposta à pergunta (b). Como \text{VPL}>0 descontando à taxa de 7\%, isso significa que, se nós usarmos 7\% como taxa de referência, o empréstimo rende algo a mais do que essa taxa — logo a taxa efetiva cobrada pelo empréstimo é superior a 7\%. Para confirmar numericamente, podemos ver que se aumentarmos a taxa para 8\% a soma dos PVs fica menor que 22.000 (testando rapidamente: PV em 8\% 21.751,42 < 22.000), o que mostra que a taxa interna que iguala os fluxos ao empréstimo está entre 7\% e 8\%. Fazendo uma interpolação linear rápida entre 7\% e 8\% obtemos uma taxa aproximada de 7,31\% ao mês (essa é apenas uma aproximação do valor exato da taxa interna).

Resposta

a) \$111,08
b) A taxa cobrada é superior a 7\% (aproximadamente 7,31\% ao mês, pela interpolação).

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