Questão: Um empréstimo de
22.000,00
$12.000,00, $ 5.000,00
$8.000,00$. Considerando uma taxa de juros de 7% ao mês, pergunta-se:
a) Qual o Valor Presente Líquido?
b) A taxa cobrada no empréstimo é superior ou inferior a
?
a) Qual o Valor Presente Líquido?
b) A taxa cobrada no empréstimo é superior ou inferior a
Passo 1
O enunciado dá um empréstimo de
que será quitado por três prestações mensais e sucessivas:
(após 1 mês),
(após 2 meses) e
(após 3 meses). A taxa considerada no enunciado é de
ao mês.
As perguntas são:
a) Qual o Valor Presente Líquido (VPL) dessa operação, usando a taxa de ao mês?
b) A taxa efetivamente cobrada no empréstimo é superior ou inferior a ?
As perguntas são:
a) Qual o Valor Presente Líquido (VPL) dessa operação, usando a taxa de
b) A taxa efetivamente cobrada no empréstimo é superior ou inferior a
Passo 2
Explicação do conceito e da fórmula que vamos usar (passo-a-passo didático).
- O Valor Presente (PV) de uma prestação futura é o quanto essa prestação vale hoje, trazida a valor presente descontando juros. Se uma quantia
é paga no tempo (meses), o valor presente dessa quantia, descontando a uma taxa de juros por mês, é dado por:
Aqui:
-
é o valor da prestação paga no mês ; -
é a taxa por período (no nosso caso ao mês, isto é ); -
é o número de períodos (meses) até o pagamento. - O Valor Presente das prestações (soma dos PVs) é
- O Valor Presente Líquido (VPL) da operação, do ponto de vista do credor (quem empresta
hoje), é a diferença entre o PV das entradas futuras (as prestações recebidas) e o desembolso inicial:
Se
significa que, descontando à taxa
, o empréstimo traz ganho (ou seja, a taxa efetiva cobrada é maior que
). Se
, a taxa efetiva cobrada é menor que
.
Passo 3
Calcular os fatores de desconto com
ao mês. Escrevemos
. Precisamos de:
Esses denominadores serão usados nas divisões para trazer cada prestação a valor presente.
Passo 4
Calcular o valor presente de cada prestação (mostrando cada conta):
- Prestação do mês 1:
.
- Prestação do mês 2:
.
- Prestação do mês 3:
.
Passo 5
Somar os valores presentes das três prestações para obter o
:
Agora o VPL (subtraindo o empréstimo inicial de
):
Ou seja, o VPL é positivo e vale
(arredondado aos centavos).
Passo 6
Interpretação e resposta à pergunta (b). Como
descontando à taxa de
, isso significa que, se nós usarmos
como taxa de referência, o empréstimo rende algo a mais do que essa taxa — logo a taxa efetiva cobrada pelo empréstimo é superior a
. Para confirmar numericamente, podemos ver que se aumentarmos a taxa para
a soma dos PVs fica menor que
(testando rapidamente: PV em
≈
<
), o que mostra que a taxa interna que iguala os fluxos ao empréstimo está entre
e
. Fazendo uma interpolação linear rápida entre
e
obtemos uma taxa aproximada de
ao mês (essa é apenas uma aproximação do valor exato da taxa interna).
Resposta
a)
b) A taxa cobrada é superior a (aproximadamente
ao mês, pela interpolação).
b) A taxa cobrada é superior a