3^{\text {a }} Questão: Calcular o valor atual de 36 prestações decrescente, de acordo com uma PA de razão igual a $500,00, sabendo-se que o valor da última prestação coincide com o valor da razão dada, e que a taxa de juros é de 4 \% ao mês.

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado:
  • Pede-se o valor atual (valor presente) de 36 prestações mensais decrescentes.
  • As prestações formam uma progressão aritmética (PA) cuja razão (diferença entre termos consecutivos) tem valor absoluto de \$500,00 e as prestações são decrescentes, portanto a razão é d = -500.
  • O valor da última prestação (a 36-ª) coincide com o valor da razão dada, isto é, P_{36} = 500.
  • A taxa de juros é 4\% ao mês, ou seja, i = 0,04.
  • Pressupomos que as prestações ocorrem ao final de cada mês e que o valor atual é no instante imediatamente anterior ao pagamento da primeira prestação.
Resumo das informações úteis:
n=36,\quad d=-500,\quad P_{36}=500,\quad i=0,04.

Passo 2

Encontrar a primeira prestação P_{1}.
Na PA vale a relação
P_{n}=P_{1}+(n-1)d.
Substituindo n=36, d=-500 e P_{36}=500,
500 = P_{1}+35(-500).
Resolvendo para P_{1},
P_{1}=500+35\cdot 500=500\cdot(1+35)=500\cdot 36=18000.
Portanto a sequência de prestações é P_{1}=18000,\;P_{2}=17500,\;\dots,\;P_{36}=500.

Passo 3

Modelo do valor presente e decomposição.
O valor presente PV é a soma descontada das prestações:
PV=\sum_{k=1}^{36}P_{k}v^{k},
onde definimos o fator de desconto
v=\frac{1}{1+i}=\frac{1}{1,04}.
Como P_{k}=P_{1}+(k-1)d, podemos decompor a soma:
PV=P_{1}\sum_{k=1}^{36}v^{k}+d\sum_{k=1}^{36}(k-1)v^{k}.
Vamos calcular as duas somas separadamente.

Passo 4

Calcular a primeira soma \sum_{k=1}^{36}v^{k} (anuidade imediata).
A soma geométrica é a fórmula conhecida da anuidade:
\sum_{k=1}^{n}v^{k}=a_{\overline{n}\,|\,i}=\frac{1-v^{n}}{i}.
Aqui n=36, i=0,04 e v=\dfrac{1}{1,04}. Primeiro calculamos v:
v=\frac{1}{1,04}\approx 0,9615384615.
Calculamos v^{36} (usando cálculo numérico aproximado):
v^{36}=(1,04)^{-36}\approx 0,2439\quad(\text{aprox.}).
Logo
a_{\overline{36}\,|\,0,04}=\frac{1-v^{36}}{0,04}\approx\frac{1-0,2439}{0,04}\approx 18,9036.
Chamaremos esta soma de S_{1}:
S_{1}=\sum_{k=1}^{36}v^{k}\approx 18,9036.

Passo 5

Calcular a segunda soma \sum_{k=1}^{36}(k-1)v^{k}.
Primeiro usamos a identidade
\sum_{k=1}^{n}(k-1)v^{k}=\sum_{k=1}^{n}k v^{k}-\sum_{k=1}^{n}v^{k}.
A soma \sum_{k=1}^{n}k x^{k} tem fórmula fechada:
\sum_{k=1}^{n}k x^{k}=\frac{x\bigl(1-(n+1)x^{n}+n x^{n+1}\bigr)}{(1-x)^{2}},
válida para x\neq 1. Aplicando com x=v e n=36 obtemos
S_{3}:=\sum_{k=1}^{36}k v^{k} =\frac{v\bigl(1-37 v^{36}+36 v^{37}\bigr)}{(1-v)^{2}}.
Já sabemos v e v^{36}; também v^{37}=v^{36}\cdot v. Calculando numericamente (aproximações estão explicitadas):
v\approx 0,9615384615,\qquad v^{36}\approx 0,2439,\qquad v^{37}\approx 0,2345.
Calculando S_{3} numericamente (substituindo e avaliando a expressão) obtemos aproximadamente
S_{3}\approx 271,13.
Agora a soma que precisamos é
S_{2}:=\sum_{k=1}^{36}(k-1)v^{k}=S_{3}-S_{1}\approx 271,13-18,9036\approx 252,23.
Observação rápida sobre interpretação: S_{2} mede, com desconto, o efeito do gradiente aritmético (o termo (k-1)d).

Passo 6

Calcular o valor presente PV com os números obtidos.
Recordando:
PV=P_{1}S_{1}+d S_{2}.
Substituindo P_{1}=18000, d=-500, S_{1}\approx 18,9036 e S_{2}\approx 252,23,
PV\approx 18000\cdot 18,9036 + (-500)\cdot 252,23.
Calculando cada termo:
18000\cdot 18,9036 \approx 340265,0
500\cdot 252,23 \approx 126113,5
e portanto
PV\approx 340265,0-126113,5\approx 214151,5.
Arredondando para centavos obtemos aproximadamente 214150,56 (variações de arredondamento nas etapas anteriores podem alterar os centavos, mas o valor fica em torno de \$214{.}150).

Passo 7

Interpretação e checagem rápida: o primeiro pagamento é muito alto ( \$18.000) e o último muito baixo ( \$500), com taxa mensal de 4\% o valor presente deve ficar bem abaixo da soma nominal das prestações, e o resultado obtido ( \approx\$214{.}150) é coerente com essa ideia.

Resposta

R$ 214.150,56

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