Classifique e resolva os sistemas a seguir:
\left\{\begin{array}{c}2 x+3 y-2 z=2 \\\\ 3 x-5 y+4 z=5 \\\ x-2 y-7 z=-24\end{array}\right.

Passo 1

O sistema dado é
\begin{cases} 2x+3y-2z=2\\[4pt] 3x-5y+4z=5\\[4pt] x-2y-7z=-24 \end{cases}
O que o enunciado pede:
  • Classificar o sistema (se é compatível determinado — única solução; compatível indeterminado — infinitas soluções; ou incompatível — nenhuma solução).
  • Encontrar a(s) solução(ões) do sistema, se existirem.
Informações relevantes: as três equações lineares em três incógnitas x,y,z estão todas apontadas explicitamente acima. Não há mais dados escondidos.]

Passo 2

Plano de ataque (explicação didática curta): vamos usar eliminação (também chamada de método de Gauss) — a ideia é usar combinações lineares das equações para eliminar uma incógnita por vez e obter um sistema triangular, que aí se resolve por substituição (back-substitution). Operações permitidas sem alterar conjunto de soluções:
  • somar a uma equação um múltiplo de outra;
  • multiplicar uma equação por constante não nula;
  • trocar equações de ordem.
Escolhi usar a terceira equação como pivô inicial porque o coeficiente de x nela é 1, o que facilita eliminar x das outras equações sem introduzir frações.

Passo 3

Rotulando as equações para organizar: E_1:2x+3y-2z=2, E_2:3x-5y+4z=5, E_3:x-2y-7z=-24.
Eliminação de x em E_1 e E_2 usando E_3:
  • Fazer E_1' = E_1 - 2E_3. Calcule termo a termo:
    • coeficiente de x: 2 - 2\cdot 1 = 0 (eliminado);
    • coeficiente de y: 3 - 2\cdot(-2) = 3 + 4 = 7;
    • coeficiente de z: -2 - 2\cdot(-7) = -2 + 14 = 12;
    • termo independente: 2 - 2\cdot(-24) = 2 + 48 = 50.
      Resultado: E_1':\;7y + 12z = 50.
  • Fazer E_2' = E_2 - 3E_3. Calcule termo a termo:
    • coeficiente de x: 3 - 3\cdot 1 = 0;
    • coeficiente de y: -5 - 3\cdot(-2) = -5 + 6 = 1;
    • coeficiente de z: 4 - 3\cdot(-7) = 4 + 21 = 25;
    • termo independente: 5 - 3\cdot(-24) = 5 + 72 = 77.
      Resultado: E_2':\;1y + 25z = 77.
Agora temos sistema triangular (sem x nas duas primeiras linhas):
\begin{cases} 7y + 12z = 50\\[4pt] y + 25z = 77\\[4pt] x -2y -7z = -24 \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema em y e z. Da segunda equação já isolamos y:
y = 77 - 25z.
Explicação didática: quando uma equação é da forma ay+bz=c e a\neq 0, podemos isolar y escrevendo y=(c-bz)/a. Aqui a=1, então y fica bem simples.
Substituímos y em 7y+12z=50:
7(77 - 25z) + 12z = 50.
Desenvolvendo passo a passo:
7\cdot 77 - 7\cdot 25z + 12z = 50,
539 - 175z + 12z = 50,
539 - 163z = 50.
Isolando z:
-163z = 50 - 539 = -489,
z = \frac{-489}{-163} = 3.
Comentário: observe que 163\cdot 3 = 489, por isso a divisão dá exatamente 3.

Passo 5

Agora que z=3, encontramos y pela fórmula já obtida:
y = 77 - 25\cdot 3 = 77 - 75 = 2.
Em seguida, usamos a equação E_3 para achar x. Substituímos y=2 e z=3 em x - 2y - 7z = -24:
x - 2\cdot 2 - 7\cdot 3 = -24,
x - 4 - 21 = -24,
x - 25 = -24,
x = 1.

Passo 6

Classificação do sistema: encontramos exatamente uma tripla (x,y,z)=(1,2,3) que satisfaz todas as equações; portanto o sistema é compatível determinado (ou seja, tem solução única). Explicação breve: sistema linear com três equações e três incógnitas que, após eliminação, produz pivôs não nulos em cada variável indica solução única.

Resposta

Sistema compatível determinado.
(x,y,z)=(1,2,3)

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