Considere a função do 2^{\circ} grau f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=a x^{2}+b x+c. Analise a posição dos coeficientes a, b e c e sua possível influência no comportamento da função. Para cada uma das afirmações seguintes, você deve completar a coluna referente ao “Antes” marcando um x em “sim” ou “não” de acordo com os seus conhecimentos prévios referentes a função quadrática, sem fazer qualquer experimentação numérica ou computacional.
Observação: considere x_{v} e y_{v} as coordenadas do vértice da parábola.
Afirmaçooes Antes Depois
Sim Não Sim Não
O coeficiente a da função quadrática interfere na concavidade da parábola.
O coeficiente c da função quadrática não interfere no ponto de intersecção da parảbola com o eixo das ordenadas.
A parábola terá concavidade voltada para cima quando o coeficiente a for negativo.
O coeficiente b da função quadrática interfere se a parábola intercepta o eixo y na parte crescente ou decrescente da curva.
O gráfico de uma função quadrática é sempre uma paráboia, isto é, existe um valor x_{V} no qual a função quadrática muda de comportamento: ou decresce até x_{V} e cresce depois, ou cresce até x_{V} e decresce depois.
Quanto maior o valor absoluto do coeficiente a menor a "abertura" da parábola.
Quando a=0 não existe parábola.
O ponto de intersecção da parábola com o eixo das ordenadas acontecerá na parte crescente da parábola quando o valor de b for positivo.
O sinal do discriminante ( \Delta ) da sunção intersere na quantidade de zeros (raízes) reais da função.
O coeficiente c não interfere no conjunto imagem da função.
Quando a>0, a função tem um ponto de mínimo absoluto.
O coeficiente c é a ordenada do ponto de intersecção da curva com o eixo das abscissas.
O valor de y_{V} é fundamental para a determinação do conjunto imagem da função.
Quando a concavidade da parábola é voltada para cima, o conjunto imagem da função é dado por \operatorname{Im}(f)=\left[y_{V},+\infty[\right..
Quando a concavidade da parábola é voltada para baixo, o conjunto imagem da função é dado por \left.\operatorname{lm}(f)=]-\infty, y_{V}\right].

Passo 1

O enunciado pede que eu, com base no meu conhecimento prévio sobre a função quadrática f(x)=ax^2+bx+c, marque na coluna “Antes” se cada uma das afirmações é verdadeira (“Sim”) ou falsa (“Não”), sem fazer experimentação.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que devo usar: a, b e c são os coeficientes da função quadrática; x_{V} e y_{V} são as coordenadas do vértice da parábola. Não devo ainda resolver nada, apenas identificar o que cada afirmação pergunta.

Passo 2

Afirmação: “O coeficiente a da função quadrática interfere na concavidade da parábola.”
Explicação didática: a concavidade da parábola é determinada pelo sinal de a. Se a>0 a parábola é côncava para cima (parece um “U”); se a<0 é côncava para baixo (parece um “∩”). Isso decorre diretamente do termo dominante ax^2: para |x| grande o sinal de ax^2 segue o sinal de a.
Conclusão para “Antes”: Sim

Passo 3

Afirmação: “O coeficiente c da função quadrática não interfere no ponto de intersecção da parábola com o eixo das ordenadas.”
Explicação didática: a intersecção com o eixo das ordenadas ocorre em x=0. Substituindo x=0 temos f(0)=a\cdot0^2+b\cdot0+c=c. Ou seja, a ordenada onde a parábola cruza o eixo y é exatamente c. Portanto c interfere (é o valor desse ponto).
Conclusão para “Antes”: Não

Passo 4

Afirmação: “A parábola terá concavidade voltada para cima quando o coeficiente a for negativo.”
Explicação didática: como expliquei antes, concavidade para cima acontece quando a>0. Se a é negativo ( a<0) a concavidade será para baixo.
Conclusão para “Antes”: Não

Passo 5

Afirmação: “O coeficiente b da função quadrática interfere se a parábola intercepta o eixo y na parte crescente ou decrescente da curva.”
Explicação didática: para saber se a função está crescendo ou decrescendo em x=0 calculamos a derivada f'(x)=2ax+b. Em x=0 temos f'(0)=b. Se b>0 a função está subindo (crescente) em x=0; se b<0 está descendo (decrescente) em x=0. Logo b determina se o ponto (0,c) está na parte crescente ou decrescente.
Conclusão para “Antes”: Sim

Passo 6

Afirmação: “O gráfico de uma função quadrática é sempre uma parábola, isto é, existe um valor x_{V} no qual a função quadrática muda de comportamento: ou decresce até x_{V} e cresce depois, ou cresce até x_{V} e decresce depois.”
Explicação didática: para a\neq0 a função é uma parábola. O vértice tem abscissa dada por
x_{V} = -\frac{b}{2a}.
Esse ponto é exatamente onde a monotonicidade muda: se a>0 a função decresce até x_V e cresce depois; se a<0 cresce até x_V e decresce depois. (Se a=0 deixa de ser quadrática.)
Conclusão para “Antes”: Sim

Passo 7

Afirmação: “Quanto maior o valor absoluto do coeficiente a menor a ‘abertura’ da parábola.”
Explicação didática: o parâmetro |a| controla a “largura” ou “abertura” da parábola: quanto maior |a|, mais “estreita” (menos aberta) fica a parábola; quanto menor |a| (próximo de zero), mais “aberta” e larga fica. Exemplo simples: x^2 ( a=1) versus 5x^2 ( a=5) — a segunda é mais estreita.
Conclusão para “Antes”: Sim

Passo 8

Afirmação: “Quando a=0 não existe parábola.”
Explicação didática: Se a=0 a função fica f(x)=bx+c, que é linear (reta), não uma parábola. Portanto não existe parábola quando a=0.
Conclusão para “Antes”: Sim

Passo 9

Afirmação: “O ponto de intersecção da parábola com o eixo das ordenadas acontecerá na parte crescente da parábola quando o valor de b for positivo.”
Explicação didática: já vimos que a intersecção com o eixo y é o ponto (0,c) e que a derivada em 0 é f'(0)=b. Se b>0 a função está crescendo naquele ponto, então a intersecção está na parte crescente.
Conclusão para “Antes”: Sim

Passo 10

Afirmação: “O sinal do discriminante ( \Delta ) da função interfere na quantidade de zeros (raízes) reais da função.”
Explicação didática: o discriminante é
\Delta = b^{2}-4ac.
Regra padrão: se \Delta>0 há duas raízes reais distintas; se \Delta=0 há uma raiz real dupla; se \Delta<0 não há raízes reais. Então o sinal de \Delta determina a quantidade de zeros reais.
Conclusão para “Antes”: Sim

Passo 11

Afirmação: “O coeficiente c não interfere no conjunto imagem da função.”
Explicação didática: o conjunto imagem depende do valor de y_{V} (a ordenada do vértice) e da concavidade. A expressão para y_{V} é, substituindo x_V em f,
y_{V} = f(x_{V}) = f\!\left(-\frac{b}{2a}\right) = c - \frac{b^{2}}{4a}.
Vê-se explicitamente que c aparece nessa fórmula: variar c desloca a parábola verticalmente e altera y_{V}, portanto altera o conjunto imagem. Logo a afirmação é falsa.
Conclusão para “Antes”: Não

Passo 12

Afirmação: “Quando a>0, a função tem um ponto de mínimo absoluto.”
Explicação didática: se a>0 a parábola abre para cima; o vértice é então o ponto de mínimo global da função. Esse mínimo absoluto tem coordenadas \bigl(x_{V},y_{V}\bigr) com x_{V}=-\dfrac{b}{2a} e y_{V} conforme acima.
Conclusão para “Antes”: Sim

Passo 13

Afirmação: “O coeficiente c é a ordenada do ponto de intersecção da curva com o eixo das abscissas.”
Explicação didática: o eixo das abscissas é o eixo x (onde y=0). As intersecções com o eixo x são as raízes da equação ax^2+bx+c=0; em geral essas raízes dependem de a, b e c (via \Delta), e não são simplesmente c. O coeficiente c dá a ordenada da intersecção com o eixo y, não com o eixo x. Portanto a afirmação é falsa.
Conclusão para “Antes”: Não

Passo 14

Afirmação: “O valor de y_{V} é fundamental para a determinação do conjunto imagem da função.”
Explicação didática: o conjunto imagem (valores possíveis de f(x)) para uma parábola é um intervalo que tem y_{V} como extremo: se a>0 então \operatorname{Im}(f)=[y_{V},+\infty[; se a<0 então \operatorname{Im}(f)=]-\infty,y_{V}]. Assim y_{V} define o limite inferior ou superior do conjunto imagem, sendo portanto fundamental.
Conclusão para “Antes”: Sim

Passo 15

Afirmação: “Quando a concavidade da parábola é voltada para cima, o conjunto imagem da função é dado por \operatorname{Im}(f)=\left[y_{V},+\infty[\right..”
Explicação didática: isso é a formulação padrão: concavidade para cima ( a>0) implica valor mínimo y_{V} e a função atinge todos os valores maiores que y_{V}. Portanto a expressão está correta (notação fechada em y_{V} e aberto em +\infty).
Conclusão para “Antes”: Sim

Passo 16

Afirmação: “Quando a concavidade da parábola é voltada para baixo, o conjunto imagem da função é dado por \left.\operatorname{lm}(f)=]-\infty, y_{V}\right].”
Explicação didática: apesar de um pequeno erro de digitação em “lm” (deveria ser “ \operatorname{Im}”), a ideia é correta: concavidade para baixo ( a<0) implica valor máximo y_{V} e a imagem é (-\infty,y_{V}]. Então a afirmação, interpretando corretamente, é verdadeira.
Conclusão para “Antes”: Sim

Resposta

Sim
Não
Não
Sim
Sim
Sim
Sim
Sim
Sim
Não
Sim
Não
Sim
Sim
Sim

Exercícios relacionados