Considere a função do
grau
dada por
. Analise a posição dos coeficientes
e
e sua possível influência no comportamento da função. Para cada uma das afirmações seguintes, você deve completar a coluna referente ao “Antes” marcando um x em “sim” ou “não” de acordo com os seus conhecimentos prévios referentes a função quadrática, sem fazer qualquer experimentação numérica ou computacional.
Observação: considere
e
as coordenadas do vértice da parábola.
Afirmaçooes
Antes
Depois
Sim
Não
Sim
Não
O coeficiente
da função quadrática interfere na concavidade da parábola.
O coeficiente
da função quadrática não interfere no ponto de intersecção da parảbola com o eixo das ordenadas.
A parábola terá concavidade voltada para cima quando o coeficiente
for negativo.
O coeficiente
da função quadrática interfere se a parábola intercepta o eixo
na parte crescente ou decrescente da curva.
O gráfico de uma função quadrática é sempre uma paráboia, isto é, existe um valor
no qual a função quadrática muda de comportamento: ou decresce até
e cresce depois, ou cresce até
e decresce depois.
Quanto maior o valor absoluto do coeficiente
menor a "abertura" da parábola.
Quando
não existe parábola.
O ponto de intersecção da parábola com o eixo das ordenadas acontecerá na parte crescente da parábola quando o valor de
for positivo.
O sinal do discriminante (
) da sunção intersere na quantidade de zeros (raízes) reais da função.
O coeficiente
não interfere no conjunto imagem da função.
Quando
, a função tem um ponto de mínimo absoluto.
O coeficiente
é a ordenada do ponto de intersecção da curva com o eixo das abscissas.
O valor de
é fundamental para a determinação do conjunto imagem da função.
Quando a concavidade da parábola é voltada para cima, o conjunto imagem da função é dado por
.
Quando a concavidade da parábola é voltada para baixo, o conjunto imagem da função é dado por
.
| Afirmaçooes | Antes | Depois | ||
| Sim | Não | Sim | Não | |
| O coeficiente
|
||||
| O coeficiente
|
||||
| A parábola terá concavidade voltada para cima quando o coeficiente
|
||||
| O coeficiente
|
||||
| O gráfico de uma função quadrática é sempre uma paráboia, isto é, existe um valor
|
||||
| Quanto maior o valor absoluto do coeficiente
|
||||
| Quando
|
||||
| O ponto de intersecção da parábola com o eixo das ordenadas acontecerá na parte crescente da parábola quando o valor de
|
||||
| O sinal do discriminante (
|
||||
| O coeficiente
|
||||
| Quando
|
||||
| O coeficiente
|
||||
| O valor de
|
||||
| Quando a concavidade da parábola é voltada para cima, o conjunto imagem da função é dado por
|
||||
| Quando a concavidade da parábola é voltada para baixo, o conjunto imagem da função é dado por
|
||||
Passo 1
O enunciado pede que eu, com base no meu conhecimento prévio sobre a função quadrática
, marque na coluna “Antes” se cada uma das afirmações é verdadeira (“Sim”) ou falsa (“Não”), sem fazer experimentação.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que devo usar: ,
e
são os coeficientes da função quadrática;
e
são as coordenadas do vértice da parábola. Não devo ainda resolver nada, apenas identificar o que cada afirmação pergunta.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que devo usar:
Passo 2
Afirmação: “O coeficiente
da função quadrática interfere na concavidade da parábola.”
Explicação didática: a concavidade da parábola é determinada pelo sinal de . Se
a parábola é côncava para cima (parece um “U”); se
é côncava para baixo (parece um “∩”). Isso decorre diretamente do termo dominante
: para
grande o sinal de
segue o sinal de
.
Conclusão para “Antes”: Sim
Explicação didática: a concavidade da parábola é determinada pelo sinal de
Conclusão para “Antes”: Sim
Passo 3
Afirmação: “O coeficiente
da função quadrática não interfere no ponto de intersecção da parábola com o eixo das ordenadas.”
Explicação didática: a intersecção com o eixo das ordenadas ocorre em . Substituindo
temos
. Ou seja, a ordenada onde a parábola cruza o eixo
é exatamente
. Portanto
interfere (é o valor desse ponto).
Conclusão para “Antes”: Não
Explicação didática: a intersecção com o eixo das ordenadas ocorre em
Conclusão para “Antes”: Não
Passo 4
Afirmação: “A parábola terá concavidade voltada para cima quando o coeficiente
for negativo.”
Explicação didática: como expliquei antes, concavidade para cima acontece quando . Se
é negativo (
) a concavidade será para baixo.
Conclusão para “Antes”: Não
Explicação didática: como expliquei antes, concavidade para cima acontece quando
Conclusão para “Antes”: Não
Passo 5
Afirmação: “O coeficiente
da função quadrática interfere se a parábola intercepta o eixo
na parte crescente ou decrescente da curva.”
Explicação didática: para saber se a função está crescendo ou decrescendo em calculamos a derivada
. Em
temos
. Se
a função está subindo (crescente) em
; se
está descendo (decrescente) em
. Logo
determina se o ponto
está na parte crescente ou decrescente.
Conclusão para “Antes”: Sim
Explicação didática: para saber se a função está crescendo ou decrescendo em
Conclusão para “Antes”: Sim
Passo 6
Afirmação: “O gráfico de uma função quadrática é sempre uma parábola, isto é, existe um valor
no qual a função quadrática muda de comportamento: ou decresce até
e cresce depois, ou cresce até
e decresce depois.”
Explicação didática: para a função é uma parábola. O vértice tem abscissa dada por
Explicação didática: para
Esse ponto é exatamente onde a monotonicidade muda: se
a função decresce até
e cresce depois; se
cresce até
e decresce depois. (Se
deixa de ser quadrática.)
Conclusão para “Antes”: Sim
Conclusão para “Antes”: Sim
Passo 7
Afirmação: “Quanto maior o valor absoluto do coeficiente
menor a ‘abertura’ da parábola.”
Explicação didática: o parâmetro controla a “largura” ou “abertura” da parábola: quanto maior
, mais “estreita” (menos aberta) fica a parábola; quanto menor
(próximo de zero), mais “aberta” e larga fica. Exemplo simples:
(
) versus
(
) — a segunda é mais estreita.
Conclusão para “Antes”: Sim
Explicação didática: o parâmetro
Conclusão para “Antes”: Sim
Passo 8
Afirmação: “Quando
não existe parábola.”
Explicação didática: Se a função fica
, que é linear (reta), não uma parábola. Portanto não existe parábola quando
.
Conclusão para “Antes”: Sim
Explicação didática: Se
Conclusão para “Antes”: Sim
Passo 9
Afirmação: “O ponto de intersecção da parábola com o eixo das ordenadas acontecerá na parte crescente da parábola quando o valor de
for positivo.”
Explicação didática: já vimos que a intersecção com o eixo é o ponto
e que a derivada em
é
. Se
a função está crescendo naquele ponto, então a intersecção está na parte crescente.
Conclusão para “Antes”: Sim
Explicação didática: já vimos que a intersecção com o eixo
Conclusão para “Antes”: Sim
Passo 10
Afirmação: “O sinal do discriminante (
) da função interfere na quantidade de zeros (raízes) reais da função.”
Explicação didática: o discriminante é
Explicação didática: o discriminante é
Regra padrão: se
há duas raízes reais distintas; se
há uma raiz real dupla; se
não há raízes reais. Então o sinal de
determina a quantidade de zeros reais.
Conclusão para “Antes”: Sim
Conclusão para “Antes”: Sim
Passo 11
Afirmação: “O coeficiente
não interfere no conjunto imagem da função.”
Explicação didática: o conjunto imagem depende do valor de (a ordenada do vértice) e da concavidade. A expressão para
é, substituindo
em
,
Explicação didática: o conjunto imagem depende do valor de
Vê-se explicitamente que
aparece nessa fórmula: variar
desloca a parábola verticalmente e altera
, portanto altera o conjunto imagem. Logo a afirmação é falsa.
Conclusão para “Antes”: Não
Conclusão para “Antes”: Não
Passo 12
Afirmação: “Quando
, a função tem um ponto de mínimo absoluto.”
Explicação didática: se a parábola abre para cima; o vértice é então o ponto de mínimo global da função. Esse mínimo absoluto tem coordenadas
com
e
conforme acima.
Conclusão para “Antes”: Sim
Explicação didática: se
Conclusão para “Antes”: Sim
Passo 13
Afirmação: “O coeficiente
é a ordenada do ponto de intersecção da curva com o eixo das abscissas.”
Explicação didática: o eixo das abscissas é o eixo (onde
). As intersecções com o eixo
são as raízes da equação
; em geral essas raízes dependem de
,
e
(via
), e não são simplesmente
. O coeficiente
dá a ordenada da intersecção com o eixo
, não com o eixo
. Portanto a afirmação é falsa.
Conclusão para “Antes”: Não
Explicação didática: o eixo das abscissas é o eixo
Conclusão para “Antes”: Não
Passo 14
Afirmação: “O valor de
é fundamental para a determinação do conjunto imagem da função.”
Explicação didática: o conjunto imagem (valores possíveis de ) para uma parábola é um intervalo que tem
como extremo: se
então
; se
então
. Assim
define o limite inferior ou superior do conjunto imagem, sendo portanto fundamental.
Conclusão para “Antes”: Sim
Explicação didática: o conjunto imagem (valores possíveis de
Conclusão para “Antes”: Sim
Passo 15
Afirmação: “Quando a concavidade da parábola é voltada para cima, o conjunto imagem da função é dado por
.”
Explicação didática: isso é a formulação padrão: concavidade para cima ( ) implica valor mínimo
e a função atinge todos os valores maiores que
. Portanto a expressão está correta (notação fechada em
e aberto em
).
Conclusão para “Antes”: Sim
Explicação didática: isso é a formulação padrão: concavidade para cima (
Conclusão para “Antes”: Sim
Passo 16
Afirmação: “Quando a concavidade da parábola é voltada para baixo, o conjunto imagem da função é dado por
.”
Explicação didática: apesar de um pequeno erro de digitação em “lm” (deveria ser “ ”), a ideia é correta: concavidade para baixo (
) implica valor máximo
e a imagem é
. Então a afirmação, interpretando corretamente, é verdadeira.
Conclusão para “Antes”: Sim
Explicação didática: apesar de um pequeno erro de digitação em “lm” (deveria ser “
Conclusão para “Antes”: Sim
Resposta
Sim
Não
Não
Sim
Sim
Sim
Sim
Sim
Sim
Não
Sim
Não
Sim
Sim
Sim
Não
Não
Sim
Sim
Sim
Sim
Sim
Sim
Não
Sim
Não
Sim
Sim
Sim