2^{\mathrm{a}} questão. ( \mathbf{2 , 5} pts.) Sejam \beta_{1}, \beta_{2} duas bases fixadas de um espaço vetorial V e W o subconjunto de V definido por
é uma transformação linear (ressalte: linear significa que [u+v]_{\beta}=[u]_{\beta}+[v]_{\beta} e [\lambda v]_{\beta}=\lambda [v]_{\beta} para todo u,v\in V e \lambda\in\mathbb{F}).
Passo 3
Mostrar que W contém o vetor zero. Para v=0 temos, em qualquer base, as coordenadas todas nulas, isto é
Fechamento por multiplicação escalar. Seja v\in W e \lambda\in\mathbb{F}. Como [v]_{\beta_{1}}=[v]_{\beta_{2}} e as aplicações de coordenadas são lineares,
Portanto \lambda v\in W. Assim W é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
Conclusão. Encontrámos que 0\in W, que W é fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar. Essas três propriedades caracterizam um subespaço vetorial; logo W é um subespaço de V.
Observação (forma alternativa, curta): definindo as aplicações lineares \phi_{1}(v)=[v]_{\beta_{1}} e \phi_{2}(v)=[v]_{\beta_{2}}, tem-se W=\ker(\phi_{1}-\phi_{2}). Como núcleo de uma transformação linear, W é subespaço. (Só um comentário extra para quem curte ver a visão matricial.)