2^{\mathrm{a}} questão. ( \mathbf{2 , 5} pts.) Sejam \beta_{1}, \beta_{2} duas bases fixadas de um espaço vetorial V e W o subconjunto de V definido por
W:=\left\{v \in V:[v]_{\beta_{1}}=[v]_{\beta_{2}}\right\}
(a) (1,0 pt.) Mostre que W é um subespaço vetorial de V.

Passo 1

O enunciado dá duas bases fixadas \beta_{1} e \beta_{2} de um espaço vetorial V e define o subconjunto
W:=\left\{v\in V : [v]_{\beta_{1}}=[v]_{\beta_{2}}\right\}.
A pergunta (a) pede: mostrar que W é um subespaço vetorial de V.

Passo 2

Primeiro lembrar o que significa [v]_{\beta}. Para uma base \beta=(b_{1},\dots,b_{n}) de V, todo vetor v\in V pode ser escrito de forma única como
v = x_{1}b_{1}+\cdots+x_{n}b_{n},
e definimos o vetor de coordenadas
[v]_{\beta}=\begin{pmatrix}x_{1}\\\ \vdots\\\ x_{n}\end{pmatrix}\in \mathbb{F}^{n},
onde \mathbb{F} é o corpo sobre o qual V é definido. Uma propriedade fundamental é que a aplicação de coordenadas
[v]\_{\beta}:V\to\mathbb{F}^{n},\qquad v\mapsto [v]_{\beta},
é uma transformação linear (ressalte: linear significa que [u+v]_{\beta}=[u]_{\beta}+[v]_{\beta} e [\lambda v]_{\beta}=\lambda [v]_{\beta} para todo u,v\in V e \lambda\in\mathbb{F}).

Passo 3

Mostrar que W contém o vetor zero. Para v=0 temos, em qualquer base, as coordenadas todas nulas, isto é
[0]_{\beta_{1}}=\begin{pmatrix}0\\\ \vdots\\\ 0\end{pmatrix}=[0]_{\beta_{2}},
portanto 0\in W. Isso garante que W não é vazio — importante para subespaço.

Passo 4

Fechamento por soma. Seja u,v\in W. Pelo que significa estar em W, temos
[u]_{\beta_{1}}=[u]_{\beta_{2}}\quad\text{e}\quad [v]_{\beta_{1}}=[v]_{\beta_{2}}.
Usando linearidade das aplicações de coordenadas,
[u+v]_{\beta_{1}}=[u]_{\beta_{1}}+[v]_{\beta_{1}}=[u]_{\beta_{2}}+[v]_{\beta_{2}}=[u+v]_{\beta_{2}}.
Logo u+v\in W. Assim W é fechado sob soma.

Passo 5

Fechamento por multiplicação escalar. Seja v\in W e \lambda\in\mathbb{F}. Como [v]_{\beta_{1}}=[v]_{\beta_{2}} e as aplicações de coordenadas são lineares,
[\lambda v]_{\beta_{1}}=\lambda [v]_{\beta_{1}}=\lambda [v]_{\beta_{2}}=[\lambda v]_{\beta_{2}}.
Portanto \lambda v\in W. Assim W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Conclusão. Encontrámos que 0\in W, que W é fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar. Essas três propriedades caracterizam um subespaço vetorial; logo W é um subespaço de V.
Observação (forma alternativa, curta): definindo as aplicações lineares \phi_{1}(v)=[v]_{\beta_{1}} e \phi_{2}(v)=[v]_{\beta_{2}}, tem-se W=\ker(\phi_{1}-\phi_{2}). Como núcleo de uma transformação linear, W é subespaço. (Só um comentário extra para quem curte ver a visão matricial.)

Resposta

W é um subespaço vetorial de V.

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