1^{\text {a }} questão. ( 2,0 pts.) Nos itens abaíxo, considere V o subespaço vetorial de \mathbb{R}^{4} gerado pelos seguintes vetores:
\begin{array}{l} v_{1}=(1,1,1,1), v_{2}=(1,0,0,1), v_{3}=(0,1,1,0) \\\ v_{4}=(1,0,1,0), v_{5}=(0,1,2,-1) \text { e } v_{6}=(1,2,3,0) \end{array}
(c) (0,6 pt.) Em seguida, obtenha uma base de \mathbb{R}^{4} a partir da base obtida para V.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
v_{1}=(1,1,1,1),\; v_{2}=(1,0,0,1),\; v_{3}=(0,1,1,0),\; v_{4}=(1,0,1,0),\; v_{5}=(0,1,2,-1),\; v_{6}=(1,2,3,0)
e pede, especificamente no item (c), que se obtenha uma base de \mathbb{R}^{4} a partir da base obtida para V, onde V é o subespaço gerado por esses vetores.
Informações relevantes que vamos usar:
  • V=\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6\}.
  • Para transformar uma lista de vetores em uma base, precisamos identificar um subconjunto linearmente independente que gere o mesmo espaço; se esse subconjunto tiver 4 vetores em \mathbb{R}^{4}, ele já é uma base de \mathbb{R}^{4}.
  • Vou organizar os vetores como colunas de uma matriz 4\times6 e usar eliminação de Gauss para encontrar as colunas-pivô (que correspondem a vetores linearmente independentes).

Passo 2

Vou montar a matriz A cujas colunas são v_{1},\dots,v_{6}:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 2\\[4pt] 1 & 0 & 1 & 1 & 2 & 3\\[4pt] 1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}.
Explicação curta (didática): montar a matriz assim é conveniente porque colunas linearmente independentes na matriz correspondem a vetores independentes. A eliminação de Gauss nas linhas permite detectar quais colunas são pivôs.]

Passo 3

Começo a eliminação de Gauss (vou aplicar operações elementares nas linhas; explico cada passo):
  1. Subtraio a linha 1 das linhas 2,3,4:
\begin{aligned} R_2 &\leftarrow R_2-R_1,\\\ R_3 &\leftarrow R_3-R_1,\\\ R_4 &\leftarrow R_4-R_1. \end{aligned}
Resultado:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 1 & 0 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}.
Comentário sobre a operação: subtrair a primeira linha “zera” as entradas na primeira coluna das linhas abaixo, deixando a primeira coluna com um pivô na linha 1.]

Passo 4

Agora escolho a linha 2 para pivô na coluna 2. Multiplico R_2 por -1 para simplificar:
R_2\leftarrow -R_2\quad\Rightarrow\quad R_2=(0,1,-1,1,-1,-1).
Uso esse R_2 para zerar a segunda entrada de R_3, fazendo R_3\leftarrow R_3+R_2:
R_3=(0,0,0,1,1,1).
A matriz passa a ser
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 1 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Ainda há um não-zero em coluna 3 na linha 4. Troco R_3 com R_4 para ter um pivô na coluna 3 na terceira linha:
R_3\leftrightarrow R_4,
obtendo
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 1 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Multiplico R_3 por -1 para pivô positivo:
R_3\leftarrow -R_3\quad\Rightarrow\quad R_3=(0,0,1,1,1,1).]

Passo 6

Elimino a entrada da coluna 3 em R_2 somando R_3 a R_2:
R_2\leftarrow R_2+R_3 \quad\Rightarrow\quad R_2=(0,1,0,2,0,0).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora uso o pivô em R_4 coluna 4 para zerar as entradas acima na mesma coluna:
\begin{aligned} R_1 &\leftarrow R_1-R_4,\\\ R_2 &\leftarrow R_2-2R_4,\\\ R_3 &\leftarrow R_3-R_4. \end{aligned}
Aplicando:
R_1=(1,1,0,0,-1,0),\quad R_2=(0,1,0,0,-2,-2),\quad R_3=(0,0,1,0,0,0),
e R_4 permanece (0,0,0,1,1,1). Assim a matriz está
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & -2 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 8

Por fim, elimino a entrada da coluna 2 em R_1 usando R_2:
R_1\leftarrow R_1-R_2 \quad\Rightarrow\quad R_1=(1,0,0,0,1,2).
A forma final (escalonada suficiente para identificar pivôs) é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & -2 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 9

Interpretação dos resultados (aula curta e prática):
  • As colunas-pivô são as colunas 1,2,3,4 da matriz original. Isso significa que os vetores v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} são linearmente independentes.
  • Como estamos em \mathbb{R}^{4}, qualquer conjunto de 4 vetores linearmente independentes forma uma base de \mathbb{R}^{4}. Assim \{v_1,v_2,v_3,v_4\} tem dimensão 4 e gera um subespaço de dimensão 4 — logo gera todo \mathbb{R}^{4}.
  • Conclusão prática: a base de V que encontramos é \{v_1,v_2,v_3,v_4\} e, como \dim(V)=4, temos V=\mathbb{R}^{4}. Portanto essa mesma lista é uma base de \mathbb{R}^{4}.
Dica rápida para prova: fazer a matriz com colunas sendo os vetores e aplicar eliminação de Gauss até identificar pivôs; as colunas correspondentes aos pivôs formam uma base do espaço gerado. Se obtiver 4 pivôs em \mathbb{R}^{4}, já está uma base de \mathbb{R}^{4}.

Resposta

\{(1,1,1,1),(1,0,0,1),(0,1,1,0),(1,0,1,0)\}

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