e pede, especificamente no item (c), que se obtenha uma base de \mathbb{R}^{4} a partir da base obtida para V, onde V é o subespaço gerado por esses vetores.
Informações relevantes que vamos usar:
V=\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6\}.
Para transformar uma lista de vetores em uma base, precisamos identificar um subconjunto linearmente independente que gere o mesmo espaço; se esse subconjunto tiver 4 vetores em \mathbb{R}^{4}, ele já é uma base de \mathbb{R}^{4}.
Vou organizar os vetores como colunas de uma matriz 4\times6 e usar eliminação de Gauss para encontrar as colunas-pivô (que correspondem a vetores linearmente independentes).
Passo 2
Vou montar a matriz A cujas colunas são v_{1},\dots,v_{6}:
Explicação curta (didática): montar a matriz assim é conveniente porque colunas linearmente independentes na matriz correspondem a vetores independentes. A eliminação de Gauss nas linhas permite detectar quais colunas são pivôs.]
Passo 3
Começo a eliminação de Gauss (vou aplicar operações elementares nas linhas; explico cada passo):
Comentário sobre a operação: subtrair a primeira linha “zera” as entradas na primeira coluna das linhas abaixo, deixando a primeira coluna com um pivô na linha 1.]
Passo 4
Agora escolho a linha 2 para pivô na coluna 2. Multiplico R_2 por -1 para simplificar:
Interpretação dos resultados (aula curta e prática):
As colunas-pivô são as colunas 1,2,3,4 da matriz original. Isso significa que os vetores v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} são linearmente independentes.
Como estamos em \mathbb{R}^{4}, qualquer conjunto de 4 vetores linearmente independentes forma uma base de \mathbb{R}^{4}. Assim \{v_1,v_2,v_3,v_4\} tem dimensão 4 e gera um subespaço de dimensão 4 — logo gera todo \mathbb{R}^{4}.
Conclusão prática: a base de V que encontramos é \{v_1,v_2,v_3,v_4\} e, como \dim(V)=4, temos V=\mathbb{R}^{4}. Portanto essa mesma lista é uma base de \mathbb{R}^{4}.
Dica rápida para prova: fazer a matriz com colunas sendo os vetores e aplicar eliminação de Gauss até identificar pivôs; as colunas correspondentes aos pivôs formam uma base do espaço gerado. Se obtiver 4 pivôs em \mathbb{R}^{4}, já está uma base de \mathbb{R}^{4}.