O que se pede: encontrar um subconjunto desses vetores que seja uma base de V, isto é, um conjunto de vetores que (i) seja linearmente independente e (ii) gere V.
Passo 2
Breve explicação do método que vou usar (didático e passo a passo):
Uma base de V pode ser obtida encontrando um subconjunto maximal de vetores linearmente independentes dentre os geradores.
Uma técnica prática: formar uma matriz cujas colunas são os vetores v_1,\dots,v_6 e aplicar eliminação de Gauss. As colunas que contiverem pivôs (colunas-pivô) correspondem a vetores linearmente independentes da coleção original; essas colunas formam um subconjunto que gera o mesmo espaço V.
Agora aplico esse procedimento com cálculos explícitos.
Passo 3
Matriz A com os vetores como colunas (cada coluna é um v_j):
Vou aplicar operações elementares por linhas para chegar a uma forma em escada e identificar as colunas-pivô.]
Passo 4
Primeira rodada de operações: usar a primeira linha como pivô e zerar abaixo.
Faço R_2\leftarrow R_2-R_1,\; R_3\leftarrow R_3-R_1,\; R_4\leftarrow R_4-R_1. Resultado:
A forma em escada mostra pivôs nas colunas 1, 2 e 4 (há linhas pivô nas linhas 1,2,3 correspondendo a essas colunas). Logo as colunas 1,2 e 4 são linearmente independentes.]
Passo 5
Conclusão e verificação prática (mostrar que os outros vetores são combinações lineares de v_1,v_2,v_4):
Procuramos escalares a,b,c tais que v_3=a v_1 + b v_2 + c v_4. Escrevendo coordenada a coordenada:
(0,1,1,0)=a(1,1,1,1)+b(1,0,0,1)+c(1,0,1,0).
Das segundas coordenadas obtemos 1=a\Rightarrow a=1. Da terceira coordenada 1=a+c\Rightarrow c=0. Da primeira coordenada 0=a+b+c\Rightarrow 0=1+b+0\Rightarrow b=-1. Portanto
v_3 = v_1 - v_2.
Analogamente para v_5:
(0,1,2,-1)=a(1,1,1,1)+b(1,0,0,1)+c(1,0,1,0).
Da segunda coordenada a=1. Da terceira 2=a+c\Rightarrow c=1. Da primeira 0=a+b+c\Rightarrow 0=1+b+1\Rightarrow b=-2. Logo
v_5 = v_1 -2v_2 + v_4.
Para v_6:
(1,2,3,0)=a(1,1,1,1)+b(1,0,0,1)+c(1,0,1,0).
Da segunda coordenada a=2. Da terceira 3=a+c\Rightarrow c=1. Da primeira 1=a+b+c\Rightarrow 1=2+b+1\Rightarrow b=-2. Logo
v_6 = 2v_1 -2v_2 + v_4.
Essas expressões mostram que v_3,v_5,v_6 pertencem ao subespaço gerado por \{v_1,v_2,v_4\}. Como já sabemos que v_1,v_2,v_4 são independentes, concluímos que \{v_1,v_2,v_4\} é uma base de V.