1^{\text {a }} questão. ( 2,0 pts.) Nos itens abaíxo, considere V o subespaço vetorial de \mathbb{R}^{4} gerado pelos seguintes vetores:
\begin{array}{l} v_{1}=(1,1,1,1), v_{2}=(1,0,0,1), v_{3}=(0,1,1,0) \\\ v_{4}=(1,0,1,0), v_{5}=(0,1,2,-1) \text { e } v_{6}=(1,2,3,0) \end{array}
(b) (0,7 pt.) Obtenha uma base de V que seja subconjunto de \left\{v_{1}, \ldots, v_{6}\right\}.

Passo 1

O enunciado dá seis vetores de \mathbb{R}^4 e pede uma base de V que seja subconjunto de \{v_1,\dots,v_6\}. Os vetores fornecidos são:
v_{1}=(1,1,1,1),\quad v_{2}=(1,0,0,1),\quad v_{3}=(0,1,1,0),
v_{4}=(1,0,1,0),\quad v_{5}=(0,1,2,-1),\quad v_{6}=(1,2,3,0).
O que se pede: encontrar um subconjunto desses vetores que seja uma base de V, isto é, um conjunto de vetores que (i) seja linearmente independente e (ii) gere V.

Passo 2

Breve explicação do método que vou usar (didático e passo a passo):
  • Uma base de V pode ser obtida encontrando um subconjunto maximal de vetores linearmente independentes dentre os geradores.
  • Uma técnica prática: formar uma matriz cujas colunas são os vetores v_1,\dots,v_6 e aplicar eliminação de Gauss. As colunas que contiverem pivôs (colunas-pivô) correspondem a vetores linearmente independentes da coleção original; essas colunas formam um subconjunto que gera o mesmo espaço V.
    Agora aplico esse procedimento com cálculos explícitos.

Passo 3

Matriz A com os vetores como colunas (cada coluna é um v_j):
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 2\\[4pt] 1 & 0 & 1 & 1 & 2 & 3\\[4pt] 1 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}.
Vou aplicar operações elementares por linhas para chegar a uma forma em escada e identificar as colunas-pivô.]

Passo 4

Primeira rodada de operações: usar a primeira linha como pivô e zerar abaixo.
Faço R_2\leftarrow R_2-R_1,\; R_3\leftarrow R_3-R_1,\; R_4\leftarrow R_4-R_1. Resultado:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 1 & 0 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}.
Agora multiplico a segunda linha por -1 para ter pivô positivo: R_2\leftarrow -R_2:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 1 & -1 & -1\\[4pt] 0 & -1 & 1 & 0 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}.
Uso R_3\leftarrow R_3+R_2 para eliminar o -1 em posição (3,2):
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 1 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}.
Uso R_4\leftarrow R_4+R_3 para zerar a quarta linha:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 1 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Agora elimino acima dos pivôs para clarificar a posição dos pivôs. Primeiro elimino o entry (1,2) com R_1\leftarrow R_1-R_2:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 1 & -2 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Em seguida elimino o entry (2,4) usando R_2\leftarrow R_2-R_3:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & -1 & 0 & -2 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
A forma em escada mostra pivôs nas colunas 1, 2 e 4 (há linhas pivô nas linhas 1,2,3 correspondendo a essas colunas). Logo as colunas 1,2 e 4 são linearmente independentes.]

Passo 5

Conclusão e verificação prática (mostrar que os outros vetores são combinações lineares de v_1,v_2,v_4):
Procuramos escalares a,b,c tais que v_3=a v_1 + b v_2 + c v_4. Escrevendo coordenada a coordenada:
(0,1,1,0)=a(1,1,1,1)+b(1,0,0,1)+c(1,0,1,0).
Das segundas coordenadas obtemos 1=a\Rightarrow a=1. Da terceira coordenada 1=a+c\Rightarrow c=0. Da primeira coordenada 0=a+b+c\Rightarrow 0=1+b+0\Rightarrow b=-1. Portanto
v_3 = v_1 - v_2.
Analogamente para v_5:
(0,1,2,-1)=a(1,1,1,1)+b(1,0,0,1)+c(1,0,1,0).
Da segunda coordenada a=1. Da terceira 2=a+c\Rightarrow c=1. Da primeira 0=a+b+c\Rightarrow 0=1+b+1\Rightarrow b=-2. Logo
v_5 = v_1 -2v_2 + v_4.
Para v_6:
(1,2,3,0)=a(1,1,1,1)+b(1,0,0,1)+c(1,0,1,0).
Da segunda coordenada a=2. Da terceira 3=a+c\Rightarrow c=1. Da primeira 1=a+b+c\Rightarrow 1=2+b+1\Rightarrow b=-2. Logo
v_6 = 2v_1 -2v_2 + v_4.
Essas expressões mostram que v_3,v_5,v_6 pertencem ao subespaço gerado por \{v_1,v_2,v_4\}. Como já sabemos que v_1,v_2,v_4 são independentes, concluímos que \{v_1,v_2,v_4\} é uma base de V.

Resposta

\{v_{1},v_{2},v_{4}\}

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