3^{\mathrm{a}} Questão (1 ponto): Esboce e determine a equação da superfície de revolução da curva de equação: z=x^{-1 / 2}, girando em torno do eixo z.

Passo 1

O enunciado pede o esboço e a equação da superfície obtida ao girar a curva \;z = x^{-1/2},\;x>0
em torno do eixo z. Para isso vamos usar o conceito de superfície de revolução, coordenadas cilíndricas e parametrização por ângulo.

Passo 2

Escolhemos um ponto genérico da curva no plano xz, ou seja,
(x,\,0,\,z)\quad\text{com}\quad z = x^{-1/2},\;x>0.
Ao girar esse ponto em torno do eixo z por um ângulo \theta, obtemos a parametrização
\bigl(x\cos\theta,\;x\sin\theta,\;x^{-1/2}\bigr),
onde \theta\in[0,2\pi).

Passo 3

Na parametrização acima o raio em coordenadas cilíndricas é
r = \sqrt{x^2+y^2} = x.
Basta então substituir x=r na relação z=x^{-1/2} para achar a forma em cilíndricas:
z = r^{-1/2}.

Passo 4

Para escrever em coordenadas cartesianas usamos r=\sqrt{x^2+y^2}. Dessa forma
z = \frac{1}{\sqrt{r}} \quad\Longrightarrow\quad z = (x^2+y^2)^{-1/4}.
Uma forma implícita equivalente é
(x^2+y^2)\,z^4 = 1.

Passo 5

O esboço dessa superfície é um “funil” infinito: conforme r\to0^+, z\to+\infty, e conforme r\to+\infty, z\to0.

Resposta

A equação da superfície de revolução é
— Em coordenadas cilíndricas:
z = r^{-1/2}.
— Em coordenadas cartesianas (forma explícita):
z = (x^2+y^2)^{-1/4}.
— Em forma implícita:
(x^2+y^2)\,z^4 = 1.

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