Questão (1 ponto): Esboce e determine a equação da superfície de revolução da curva de equação:
, girando em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado pede o esboço e a equação da superfície obtida ao girar a curva
em torno do eixo . Para isso vamos usar o conceito de superfície de revolução, coordenadas cilíndricas e parametrização por ângulo.
em torno do eixo
Passo 2
Escolhemos um ponto genérico da curva no plano
, ou seja,
Ao girar esse ponto em torno do eixo
por um ângulo
, obtemos a parametrização
onde
.
Passo 3
Na parametrização acima o raio em coordenadas cilíndricas é
Basta então substituir
na relação
para achar a forma em cilíndricas:
Passo 4
Para escrever em coordenadas cartesianas usamos
. Dessa forma
Uma forma implícita equivalente é
Passo 5
O esboço dessa superfície é um “funil” infinito: conforme
,
, e conforme
,
.
Resposta
A equação da superfície de revolução é
— Em coordenadas cilíndricas:
— Em coordenadas cartesianas (forma explícita):
— Em forma implícita: