5^{\mathrm{a}} Questão ( 3,2 pontos): Determine, justificando:
\left(\frac{e^{n}}{\sqrt{n^{2}+1}-n}\right) converge ou diverge (1 ponto)

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_{n} = \frac{e^{n}}{\sqrt{n^{2}+1}-n}
e pede para determinar se \{a_{n}\} converge ou diverge. Vamos usar técnicas de álgebra para simplificar a expressão e depois estudo de limites para concluir o comportamento quando n\to\infty.

Passo 2

Para lidar com o termo \sqrt{n^{2}+1}-n no denominador, racionalizamos multiplicando numerador e denominador pela conjugada \sqrt{n^{2}+1}+n:
a_{n} = \frac{e^{n}}{\sqrt{n^{2}+1}-n} \;\cdot\; \frac{\sqrt{n^{2}+1}+n}{\sqrt{n^{2}+1}+n} = \frac{e^{n}\,\bigl(\sqrt{n^{2}+1}+n\bigr)}{(\sqrt{n^{2}+1})^{2}-n^{2}}.
Como (\sqrt{n^{2}+1})^{2}-n^{2}=n^{2}+1-n^{2}=1, isso reduz para
a_{n} = e^{n}\,\bigl(\sqrt{n^{2}+1}+n\bigr).

Passo 3

Agora analisamos o fator \sqrt{n^{2}+1}+n. Para n grande,
\sqrt{n^{2}+1} = n\,\sqrt{1 + \tfrac1{n^{2}}} \approx n\Bigl(1 + \tfrac{1}{2n^{2}}\Bigr) = n + \tfrac{1}{2n},
logo
\sqrt{n^{2}+1}+n \sim 2n.
Assim, para n grande temos
a_{n} \approx e^{n}\,(2n).
Como a função e^{n} cresce mais rápido do que qualquer polinômio em n, o produto 2n\,e^{n} tende a +\infty.

Passo 4

Portanto
\lim_{n\to\infty}a_{n} = +\infty
e a sequência \{a_{n}\} diverge.

Resposta

A sequência diverge (tende a +\infty).

Exercícios relacionados