O método de máxima verossimilhança ( m v ) é o mais utilizado na inferência para estimar o(s) parâmetro(s) de modelos de probabilidade que representam populações. Segundo o método, o estimador de m v é dado pelo ponto que maximiza a função de verossimilhança.
Considere o modelo gama (\alpha, \beta) com densidade
f(x)=\frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} \mathrm{e}^{-\beta x}, \quad \alpha>0, \quad \beta>0 \quad \text { e } \quad x>0
Considerando o parâmetro \alpha conhecido, dado por \alpha_{0}, e uma amostra aleatória de tamanho n X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}, a função de verossimilhança para o parâmetro \beta do modelo gama é dada por: por:
L(\beta \mid \text { dados })=\frac{\beta^{n \alpha_{0}}}{\Gamma\left(\alpha_{0}\right)}\left[\prod_{i=1}^{n} X_{i}^{\alpha_{0}-1}\right] \mathrm{e}^{-\beta \sum_{i=1}^{n} X_{i}}
a) Encontre a função log-verossimilhança e determine \beta que maximiza a função de verossimilhança.
b) Mostre que a estimativa obtida é, de fato, um ponto de máximo de \ell(\beta \mid dados ).

Passo 1

O enunciado trata da estimação por máxima verossimilhança do parâmetro \beta numa distribuição Gama com densidade
f(x)=\frac{\beta^{\alpha_0}}{\Gamma(\alpha_0)}\,x^{\alpha_0-1}e^{-\beta x},
onde \alpha_0 é conhecido e temos uma amostra X_1,\dots,X_n. Vamos usar o fato de que o estimador de máxima verossimilhança é o ponto que maximiza a função de verossimilhança L(\beta), ou equivalentemente maximiza a log-verossimilhança \ell(\beta)=\ln L(\beta).

Passo 2

A função de verossimilhança é
L(\beta\mid \text{dados}) =\frac{\beta^{n\alpha_0}}{\Gamma(\alpha_0)}\Bigl[\prod_{i=1}^n X_i^{\alpha_0-1}\Bigr]e^{-\beta\sum_{i=1}^n X_i}.
Tomando logaritmo, obtemos
\ell(\beta) =\ln L(\beta) = n\alpha_0\ln\beta \;-\;\beta\sum_{i=1}^n X_i \;+\;\underbrace{\bigl[(\alpha_0-1)\sum_{i=1}^n\ln X_i - \ln\Gamma(\alpha_0)\bigr]}_{\text{constante em }\beta}.

Passo 3

Para encontrar o máximo, calculamos a derivada de \ell(\beta) em relação a \beta e igualamos a zero:
\frac{d\ell}{d\beta} =\frac{n\alpha_0}{\beta} -\sum_{i=1}^n X_i \stackrel{!}{=}0 \quad\Longrightarrow\quad \hat\beta =\frac{n\alpha_0}{\sum_{i=1}^n X_i}.

Passo 4

Para confirmar que esse ponto é um máximo, avaliamos a segunda derivada:
\frac{d^2\ell}{d\beta^2} =-\,\frac{n\alpha_0}{\beta^2}.
Como \alpha_0>0 e \beta^2>0, temos \frac{d^2\ell}{d\beta^2}<0, o que garante que \hat\beta é de fato um ponto de máximo.

Resposta

A estimativa de máxima verossimilhança de \beta é
\hat\beta =\frac{n\,\alpha_0}{\sum_{i=1}^n X_i}.

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