O método de máxima verossimilhança ( m v ) é o mais utilizado na inferência para estimar o(s) parâmetro(s) de modelos de probabilidade que representam populações. Segundo o método, o estimador de m v é dado pelo ponto que maximiza a função de verossimilhança.
Considere o modelo gama (\alpha, \beta) com densidade
Considerando o parâmetro \alpha conhecido, dado por \alpha_{0}, e uma amostra aleatória de tamanho n X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}, a função de verossimilhança para o parâmetro \beta do modelo gama é dada por: por:
a) Encontre a função log-verossimilhança e determine \beta que maximiza a função de verossimilhança.
b) Mostre que a estimativa obtida é, de fato, um ponto de máximo de \ell(\beta \mid dados ).
Passo 1
O enunciado trata da estimação por máxima verossimilhança do parâmetro \beta numa distribuição Gama com densidade
onde \alpha_0 é conhecido e temos uma amostra X_1,\dots,X_n. Vamos usar o fato de que o estimador de máxima verossimilhança é o ponto que maximiza a função de verossimilhança L(\beta), ou equivalentemente maximiza a log-verossimilhança \ell(\beta)=\ln L(\beta).