1^{\text {a }} Questão (2 pontos): Seja C a curva parametrizada por: f(t)=\left(t, \frac{\sqrt{2} t^{2}}{2}, \frac{t^{3}}{3}\right) ; 0 \leq t \leq 2.
a) Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva C em t=1; (1 ponto)
b) Determine o comprimento da curva C ; (1 ponto)

Passo 1

O enunciado dá a curva C parametrizada por
f(t)=\Bigl(t,\; \frac{\sqrt2\,t^2}{2},\;\frac{t^3}{3}\Bigr),\quad 0\le t\le2,
e pede:
a) as equações paramétricas da reta tangente a C em t=1;
b) o comprimento de C.
O conteúdo envolve derivadas de curvas paramétricas (para a reta tangente) e o cálculo de comprimento de arco via integral.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de f, que dá o vetor velocidade:
f'(t)=\Bigl(\frac{d}{dt}t,\;\frac{d}{dt}\frac{\sqrt2\,t^2}{2},\;\frac{d}{dt}\frac{t^3}{3}\Bigr) =\bigl(1,\;\sqrt2\,t,\;t^2\bigr).

Passo 3

Para a reta tangente em t=1 precisamos de f(1) e f'(1):
f(1)=\Bigl(1,\;\frac{\sqrt2\cdot1^2}{2},\;\frac{1^3}{3}\Bigr) =\Bigl(1,\;\tfrac{\sqrt2}{2},\;\tfrac13\Bigr), \quad f'(1)=\bigl(1,\;\sqrt2,\;1\bigr).
Logo, tomando um parâmetro \lambda para a reta, as equações paramétricas são
x=1+\lambda,\quad y=\frac{\sqrt2}{2}+\sqrt2\,\lambda,\quad z=\frac13+\lambda.

Passo 4

Agora, o comprimento de arco de C em [0,2] é dado por
L=\int_{0}^{2}\bigl\lVert f'(t)\bigr\rVert\,dt =\int_{0}^{2}\sqrt{\bigl(1\bigr)^2+\bigl(\sqrt2\,t\bigr)^2+\bigl(t^2\bigr)^2}\,dt.

Passo 5

Dentro da raiz temos
1 +2t^2 +t^4 =\bigl(1+t^2\bigr)^2,
portanto
\bigl\lVert f'(t)\bigr\rVert =\sqrt{\bigl(1+t^2\bigr)^2} =1+t^2 \quad(\text{pois }1+t^2\ge0).

Passo 6

Substituindo no integral:
L=\int_{0}^{2}(1+t^2)\,dt =\Bigl[t+\frac{t^3}{3}\Bigr]_{0}^{2} =2+\frac{8}{3} =\frac{14}{3}.

Resposta

a) x=1+\lambda,\quad y=\dfrac{\sqrt2}{2}+\sqrt2\,\lambda,\quad z=\dfrac13+\lambda.
b) L=\dfrac{14}{3}.

Exercícios relacionados