Ao fazer h\to0 isso não converge para um número finito: os limites laterais vão para +\infty quando h\to0^{+} e para -\infty quando h\to0^{-}. Conclusão:
\text{a derivada parcial }f_{x}(0,0)\text{ não existe.}ã
Passo 3
Agora calculamos a derivada parcial em relação a y no ponto (0,0) pela definição
f_{y}(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k},
ou seja, variar y com x=0. Para x=0 e k\neq0 temos
Isso é exatamente 0 para todo k\neq0, logo o limite quando k\to0 vale 0. Portanto
f_{y}(0,0)=0.
Passo 4
Interpretação e definição de “ponto crítico” utilizada: comumente, um ponto é chamado de ponto crítico quando a derivada parcial não existe em pelo menos uma direção ou quando todas as derivadas parciais existem e são simultaneamente zero. Em termos práticos: se o gradiente \nabla f(0,0) não existe, ou existe e é o vetor nulo, então (0,0) é ponto crítico.
Aplicando isso ao nosso caso:
Encontramos que f_{x}(0,0) não existe.
Encontramos que f_{y}(0,0)=0.
Como pelo menos uma derivada parcial (a de x) não existe, o gradiente não existe em (0,0). Pela definição acima, isso já qualifica (0,0) como ponto crítico. Observação extra: (0,0) não é um ponto estacionário no sentido estrito de “todas as derivadas parciais existem e valem zero”, porque f_{x}(0,0) não existe; portanto não é um ponto com gradiente igual a (0,0), mas ainda assim é crítico porque o gradiente falha em existir.
Resposta
Sim. (0,0) é um ponto crítico (porque f_{x}(0,0) não existe e f_{y}(0,0)=0).