Verifique se o ponto [P=(0,0)) é ponto crítico da função:
0,0
(f(x)= \begin{cases}\frac{4 x^{2}}{5 x^{2}+6 y^{2}} ; & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 ; & (x, y)=(0,0)\end{cases}]

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{4x^{2}}{5x^{2}+6y^{2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede para verificar se o ponto P=(0,0) é um ponto crítico da função.
Informações relevantes fornecidas:
  • Valor de f em todos os pontos fora da origem é \dfrac{4x^{2}}{5x^{2}+6y^{2}}.
  • Valor de f na origem é 0.
  • A pergunta central: verificar se P=(0,0) é ponto crítico.]

Passo 2

Definição que vamos usar (explicada de forma prática): a derivada parcial de f em relação a x no ponto (0,0) é, por definição,
f_{x}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h},
ou seja, variar x mantendo y=0. Para calcular esse limite precisamos da expressão de f(h,0) para h\neq0. Como y=0,
f(h,0)=\frac{4h^{2}}{5h^{2}+6\cdot 0^{2}}=\frac{4h^{2}}{5h^{2}}=\frac{4}{5}\quad\text{para }h\neq0.
Portanto o quociente incremental é
\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{\tfrac{4}{5}-0}{h}=\frac{4/5}{h}.
Ao fazer h\to0 isso não converge para um número finito: os limites laterais vão para +\infty quando h\to0^{+} e para -\infty quando h\to0^{-}. Conclusão:
\text{a derivada parcial }f_{x}(0,0)\text{ não existe.}ã

Passo 3

Agora calculamos a derivada parcial em relação a y no ponto (0,0) pela definição
f_{y}(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k},
ou seja, variar y com x=0. Para x=0 e k\neq0 temos
f(0,k)=\frac{4\cdot 0^{2}}{5\cdot 0^{2}+6k^{2}}=0.
Então o quociente incremental é
\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=\frac{0-0}{k}=0.
Isso é exatamente 0 para todo k\neq0, logo o limite quando k\to0 vale 0. Portanto
f_{y}(0,0)=0.

Passo 4

Interpretação e definição de “ponto crítico” utilizada: comumente, um ponto é chamado de ponto crítico quando a derivada parcial não existe em pelo menos uma direção ou quando todas as derivadas parciais existem e são simultaneamente zero. Em termos práticos: se o gradiente \nabla f(0,0) não existe, ou existe e é o vetor nulo, então (0,0) é ponto crítico.
Aplicando isso ao nosso caso:
  • Encontramos que f_{x}(0,0) não existe.
  • Encontramos que f_{y}(0,0)=0.
Como pelo menos uma derivada parcial (a de x) não existe, o gradiente não existe em (0,0). Pela definição acima, isso já qualifica (0,0) como ponto crítico. Observação extra: (0,0) não é um ponto estacionário no sentido estrito de “todas as derivadas parciais existem e valem zero”, porque f_{x}(0,0) não existe; portanto não é um ponto com gradiente igual a (0,0), mas ainda assim é crítico porque o gradiente falha em existir.

Resposta

Sim. (0,0) é um ponto crítico (porque f_{x}(0,0) não existe e f_{y}(0,0)=0).

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