4^{\mathrm{a}} QUESTÃO: \quad( VALOR =1,1)
A seguir foram feitas 6 afirmações, cada uma delas identificada por um numeral distinto:
1 Não existe \log _{1} 2
2 Não existe \log _{2} 1
4 Não existe \log _{(-2)}(-2)
8 Não existe \log _{(-3)} 1
16 Não existe \log _{2}(x+4) para nenhum x negativo.
32 Não existe \log _{(x)}(x+4) para x igual a 1.

Passo 1

O enunciado lista seis afirmações sobre a existência de logaritmos; cada afirmação está identificada por um numeral. Vou reescrevê-las aqui exatamente como dadas:
\begin{aligned} &1\quad \text{Não existe }\log_{1}2\\\ &2\quad \text{Não existe }\log_{2}1\\\ &4\quad \text{Não existe }\log_{(-2)}(-2)\\\ &8\quad \text{Não existe }\log_{(-3)}1\\\ &16\quad \text{Não existe }\log_{2}(x+4)\text{ para nenhum }x\text{ negativo.}\\\ &32\quad \text{Não existe }\log_{(x)}(x+4)\text{ para }x\text{ igual a }1. \end{aligned}ãããããã
O que precisamos decidir para cada uma: a afirmação é verdadeira (o logaritmo realmente não existe) ou falsa (o logaritmo existe). Não começo a resolver aqui; só listei o que o enunciado fornece e o que ele pede.

Passo 2

Primeiro, a regra fundamental para que o logaritmo \log_{a} b exista (no sentido de logaritmo real) é:
\text{\(\log_{a} b\) está definido se, e só se, } a>0,\ a\neq 1\ \text{e}\ b>0.áó
Explicando passo a passo e com intuição:
  • A base a deve ser positiva porque a função exponencial a^{y} só é bem comportada (continua e definida para todo y\in\mathbb{R}) quando a>0. Se a fosse negativa, a^{y} para y real nem sempre é um número real (por exemplo, (-2)^{1/2} não é real), então não podemos invertê-la para obter um logaritmo real.
  • A base não pode ser 1 porque 1^{y}=1 para todo y; a função exponencial com base 1 não é injetora, então não tem inversa (não existe logaritmo real que resolva 1^{y}=b quando b\neq1, e mesmo para b=1 a “inversa” não é bem definida).
  • O argumento b deve ser positivo porque a^{y}>0 para qualquer base a>0 e qualquer y real; portanto só podemos obter positivos como resultados de exponenciais reais, logo o logaritmo só pode ter argumentos positivos.
Exemplos rápidos e úteis para fixar:
\log_{2}8=3\quad(\text{base }2>0,\neq1;\\ \text{argument }8>0).
\log_{10}1=0\quad(\text{qualquer base válida tem }\log_{a}1=0).á
Se qualquer uma das três condições falhar, o logaritmo real “não existe”.

Passo 3

Analisando a afirmação identificada por 1: \log_{1}2.
Verificação das condições:
  • Base a=1. Isso viola a\neq 1.
  • Argument b=2>0 está ok, mas já basta a base inválida.
Conclusão: \log_{1}2 não está definido como logaritmo real. Portanto a afirmação "Não existe \log_{1}2" é verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmação identificada por 2: \log_{2}1.
Verificação das condições:
  • Base a=2. Temos 2>0 e 2\neq1 — base válida.
  • Argument b=1. Temos 1>0 — argumento válido.
Além disso, sabemos a identidade geral
\log_{a}1=0\quad\text{para qualquer base real }a>0,\\ a\neq1.
Logo \log_{2}1=0 existe.
Conclusão: a afirmação "Não existe \log_{2}1" é falsa.

Passo 5

Analisando a afirmação identificada por 4: \log_{(-2)}(-2).
Verificação das condições:
  • Base a=-2. Isso viola a>0 — a base é negativa.
  • Argument b=-2. Também viola b>0 — o argumento é negativo.
    Mesmo que um só desses já fosse suficiente para invalidar o logaritmo, aqui ambos são inválidos.
Conclusão: \log_{(-2)}(-2) não existe como logaritmo real. Portanto a afirmação é verdadeira.

Passo 6

Analisando a afirmação identificada por 8: \log_{(-3)}1.
Verificação das condições:
  • Base a=-3. Isso viola a>0; a base é negativa.
  • Argument b=1>0 está ok, mas a base inválida já impede a existência.
Observação útil: embora o argumento seja 1, e para bases válidas sempre tivéssemos \log_{a}1=0, aqui a base não é válida, então essa identidade não se aplica.
Conclusão: \log_{(-3)}1 não existe (como logaritmo real). A afirmação é verdadeira.

Passo 7

Analisando a afirmação identificada por 16: “Não existe \log_{2}(x+4) para nenhum x negativo.”
Interpretando: afirma que para todo x<0 o logaritmo \log_{2}(x+4) não existe.
Verificação das condições em termos de x:
  • A base é 2, que é válida ( 2>0 e 2\neq1).
  • O que importa é o argumento x+4. Para que o log exista precisamos de
x+4>0 \iff x>-4.
Agora, entre os x negativos ( x<0) existem valores que satisfazem x>-4, por exemplo x=-1. Para x=-1, temos x+4=3>0 e portanto \log_{2}(3) existe.
Portanto a afirmação que afirma “para nenhum x negativo existe o log” é falsa: existem x negativos (os que estão em -4<x<0) para os quais o log existe.
Conclusão: a afirmação 16 é falsa.

Passo 8

Analisando a afirmação identificada por 32: “Não existe \log_{(x)}(x+4) para x igual a 1.”
Aqui substituímos x=1:
  • Base a=x=1. Essa é inválida porque a base não pode ser 1.
  • Argument x+4=5>0 está ok mas não adianta.
Portanto \log_{1}5 não existe (mesmo que o argumento seja positivo). Assim a afirmação é verdadeira.

Passo 9

Resumo das conclusões:
  • Afirmação 1: verdadeira.
  • Afirmação 2: falsa.
  • Afirmação 4: verdadeira.
  • Afirmação 8: verdadeira.
  • Afirmação 16: falsa.
  • Afirmação 32: verdadeira.
Os numerais que identificam as afirmações verdadeiras são 1,4,8,32. A soma desses numerais é
1+4+8+32=45.

Resposta

Afirmações verdadeiras: 1,4,8,32
Soma dos numerais correspondentes: 45

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