QUESTÃO:
VALOR
A seguir foram feitas 6 afirmações, cada uma delas identificada por um numeral distinto:
1 Não existe
2 Não existe
4 Não existe
8 Não existe
16 Não existe
para nenhum
negativo.
32 Não existe
para
igual a 1.
A seguir foram feitas 6 afirmações, cada uma delas identificada por um numeral distinto:
2 Não existe
4 Não existe
8 Não existe
16 Não existe
32 Não existe
Passo 1
O enunciado lista seis afirmações sobre a existência de logaritmos; cada afirmação está identificada por um numeral. Vou reescrevê-las aqui exatamente como dadas:
O que precisamos decidir para cada uma: a afirmação é verdadeira (o logaritmo realmente não existe) ou falsa (o logaritmo existe). Não começo a resolver aqui; só listei o que o enunciado fornece e o que ele pede.
Passo 2
Primeiro, a regra fundamental para que o logaritmo
exista (no sentido de logaritmo real) é:
Explicando passo a passo e com intuição:
- A base
deve ser positiva porque a função exponencial só é bem comportada (continua e definida para todo ) quando . Se fosse negativa, para real nem sempre é um número real (por exemplo, não é real), então não podemos invertê-la para obter um logaritmo real. - A base não pode ser
porque para todo ; a função exponencial com base não é injetora, então não tem inversa (não existe logaritmo real que resolva quando , e mesmo para a “inversa” não é bem definida). - O argumento
deve ser positivo porque para qualquer base e qualquer real; portanto só podemos obter positivos como resultados de exponenciais reais, logo o logaritmo só pode ter argumentos positivos.
Exemplos rápidos e úteis para fixar:
Se qualquer uma das três condições falhar, o logaritmo real “não existe”.
Passo 3
Analisando a afirmação identificada por
:
.
Verificação das condições:
- Base
. Isso viola . - Argument
está ok, mas já basta a base inválida.
Conclusão:
não está definido como logaritmo real. Portanto a afirmação "Não existe
" é verdadeira.
Passo 4
Analisando a afirmação identificada por
:
.
Verificação das condições:
- Base
. Temos e — base válida. - Argument
. Temos — argumento válido.
Além disso, sabemos a identidade geral
Logo
existe.
Conclusão: a afirmação "Não existe
" é falsa.
Passo 5
Analisando a afirmação identificada por
:
.
Verificação das condições:
- Base
. Isso viola — a base é negativa. - Argument
. Também viola — o argumento é negativo.
Mesmo que um só desses já fosse suficiente para invalidar o logaritmo, aqui ambos são inválidos.
Conclusão:
não existe como logaritmo real. Portanto a afirmação é verdadeira.
Passo 6
Analisando a afirmação identificada por
:
.
Verificação das condições:
- Base
. Isso viola ; a base é negativa. - Argument
está ok, mas a base inválida já impede a existência.
Observação útil: embora o argumento seja
, e para bases válidas sempre tivéssemos
, aqui a base não é válida, então essa identidade não se aplica.
Conclusão:
não existe (como logaritmo real). A afirmação é verdadeira.
Passo 7
Analisando a afirmação identificada por
: “Não existe
para nenhum
negativo.”
Interpretando: afirma que para todo
o logaritmo
não existe.
Verificação das condições em termos de
:
- A base é
, que é válida ( e ). - O que importa é o argumento
. Para que o log exista precisamos de
Agora, entre os
negativos (
) existem valores que satisfazem
, por exemplo
. Para
, temos
e portanto
existe.
Portanto a afirmação que afirma “para nenhum
negativo existe o log” é falsa: existem
negativos (os que estão em
) para os quais o log existe.
Conclusão: a afirmação
é falsa.
Passo 8
Analisando a afirmação identificada por
: “Não existe
para
igual a 1.”
Aqui substituímos
:
- Base
. Essa é inválida porque a base não pode ser . - Argument
está ok mas não adianta.
Portanto
não existe (mesmo que o argumento seja positivo). Assim a afirmação é verdadeira.
Passo 9
Resumo das conclusões:
- Afirmação
: verdadeira. - Afirmação
: falsa. - Afirmação
: verdadeira. - Afirmação
: verdadeira. - Afirmação
: falsa. - Afirmação
: verdadeira.
Os numerais que identificam as afirmações verdadeiras são
. A soma desses numerais é
Resposta
Afirmações verdadeiras:
Soma dos numerais correspondentes:
Soma dos numerais correspondentes: