Calcule ou mostre que não existe (justificando): \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{x^{2}+y^{2}}\,)
Passo 1
O enunciado pede para calcular ou mostrar que não existe o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{x^{2}+y^{2}}.
Informações dadas: a função está definida por \displaystyle f(x,y)=\frac{xy}{x^{2}+y^{2}} para (x,y)\neq(0,0). O ponto de interesse é (0,0). A pergunta é apenas se o limite existe — e, se existir, qual é o seu valor; caso contrário, justificar por que não existe.
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar (explicado de forma simples): se o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) existe e é igual a L, então para qualquer maneira de aproximar (0,0) (por qualquer curva, por qualquer sequência, por qualquer direção) os valores de f(x,y) devem tender para o mesmo L. Contraponto prático: se encontrarmos duas maneiras de chegar em (0,0) que dão limites diferentes, então o limite total não existe. Essa é a forma mais direta de provar não existência num problema de múltiplas variáveis.
Passo 3
Estratégia escolhida: aproximar por linhas passantes pela origem, isto é, por curvas da forma y=mx com m\in\mathbb{R}. Isso é simples e costuma ser suficiente para mostrar dependência do caminho. Agora fazemos a substituição y=mx na expressão:
Observação didática: ao fatorarmos x^{2} no numerador e denominador, ele cancela (quando x\neq0), então o valor da função ao longo da linha y=mx é uma constante que depende só de m, e não de quão perto estamos da origem. Portanto o limite de f(x,y) ao longo dessa linha (quando (x,y)\to(0,0) seguindo y=mx) é
Agora mostro que escolhendo dois valores diferentes de m obtemos dois limites distintos. Escolha m=0 (a linha y=0) e m=1 (a linha y=x). Para m=0 temos
\frac{m}{1+m^{2}}=\frac{0}{1+0^{2}}=0.
Para m=1 temos
\frac{m}{1+m^{2}}=\frac{1}{1+1^{2}}=\frac{1}{2}.
Como 0\neq \tfrac{1}{2}, os limites ao longo dessas duas linhas são diferentes.
Passo 6
Conclusão lógica: já que o limite ao aproximar por y=0 é 0 e ao aproximar por y=x é \tfrac{1}{2}, não existe um único valor L que seja o limite para todas as maneiras de chegar em (0,0). Portanto o limite pedido não existe. Dica rápida para a prova: mostrar dois caminhos com resultados diferentes é um método curto e definitivo para provar que um limite em várias variáveis não existe.
Isto deixa claro que o valor da função perto da origem depende só do ângulo \theta, não de r. Como \tfrac{1}{2}\sin(2\theta) varia com \theta, não há limite único quando r\to 0.