3^{\mathrm{a}} QUESTÃO: \quad( VALOR =\mathbf{0 , 4})

Explique, com as suas palavras, como se faz para medir o ângulo entre dois planos não paralelos. (DESCREVA SEM DESENHO E SEJA CONSISTENTE)

Passo 1

O enunciado pede que eu explique, com minhas palavras e sem desenho, como se mede o ângulo entre dois planos que não são paralelos.
Informações dadas (implícitas no enunciado): dois planos distintos e não paralelos; não há dados numéricos específicos — a explicação deve ser geral e consistente.

Passo 2

Ideia central (em palavras simples, sem fórmula ainda). Quando dois planos se cruzam, eles têm uma reta em comum (a reta de interseção). O “ângulo entre planos” é uma medida que nos diz o quanto os planos se abrem um em relação ao outro. Há duas formas equivalentes de definir/medir esse ângulo que normalmente aparecem em prova: (A) medir o ângulo entre os vetores normais aos planos; (B) cortar os planos por um terceiro plano perpendicular à reta de interseção e medir o ângulo entre as duas retas resultantes. Vou explicar as duas maneiras e mostrar como usar fórmulas no exame.

Passo 3

Definição por vetores normais (forma prática para cálculo). Cada plano tem um vetor normal, que é um vetor perpendicular a todo vetor que fica dentro do plano. Se os planos são dados por equações do tipo
a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0
e
a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0,
então os vetores normais são, respectivamente,
\mathbf{n}_1 = (a_1, b_1, c_1) \qquad\text{e}\qquad \mathbf{n}_2 = (a_2, b_2, c_2).
Explicando: as letras a_i,b_i,c_i são exatamente as componentes do vetor que aponta perpendicularmente ao plano. Em prova, pegar os coeficientes a,b,c da equação linear do plano e formar esse vetor é o passo imediato para obter o normal.

Passo 4

Como medir o ângulo entre dois vetores (ferramenta que vamos usar). Para dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} no espaço, o cosseno do ângulo \varphi entre eles é dado pelo produto escalar:
\cos\varphi=\dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\;\|\mathbf{v}\|},
onde \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} é o produto escalar (ou “dot product”) e \|\mathbf{u}\| é o comprimento (norma) de \mathbf{u}. Explicando cada coisa:
  • \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z se \mathbf{u}=(u_x,u_y,u_z) e \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z).
  • \|\mathbf{u}\|=\sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}.
Na prática de prova: calcule o produto escalar, calcule as normas (raiz quadrada da soma dos quadrados) e divida; então aplique \operatorname{arccos} para obter o ângulo.

Passo 5

Aplicando ao ângulo entre planos: usar os normais. O ângulo entre os planos é o ângulo agudo entre seus vetores normais. Assim, se \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 são os normais, o ângulo \theta entre os planos é
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{|\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2|}{\|\mathbf{n}_1\|\;\|\mathbf{n}_2\|}\right).
Por que o valor absoluto? Porque o produto escalar pode dar cosseno negativo (ângulo obtuso entre normais), mas entre planos costuma-se usar o ângulo agudo 0\le\theta\le\dfrac{\pi}{2}. O valor absoluto garante isso. Em prova, escreva essa fórmula e calcule direto.

Passo 6

Passo-a-passo prático para fazer na prova (receita pronta):
  1. Obtenha as equações dos planos (ou duas direções dentro de cada plano).
  2. Extraia os vetores normais \mathbf{n}_1=(a_1,b_1,c_1) e \mathbf{n}_2=(a_2,b_2,c_2) (se as equações estão em forma ax+by+cz+d=0, os coeficientes a,b,c são o normal). Se não estiverem em forma explícita, determine um vetor normal fazendo produto vetorial de dois vetores diretores do mesmo plano.
  3. Calcule \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2.
  4. Calcule \|\mathbf{n}_1\| e \|\mathbf{n}_2\|.
  5. Avalie \cos\theta=\dfrac{|\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2|}{\|\mathbf{n}_1\|\;\|\mathbf{n}_2\|}.
  6. Calcule \theta=\operatorname{arccos}(\cos\theta). Entregue \theta em radianos ou graus conforme pedido, certificando-se de que 0\le\theta\le\dfrac{\pi}{2}.

Passo 7

Exemplo numérico curto (para fixar). Suponha planos
P_1:\;x+2y+2z+3=0,\qquad P_2:\;2x-y+2z-1=0.
Então
\mathbf{n}_1=(1,2,2),\qquad \mathbf{n}_2=(2,-1,2).
Produto escalar:
\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2 = 1\cdot 2 + 2\cdot(-1) + 2\cdot 2 = 4.
Normas:
\|\mathbf{n}_1\|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{9}=3,\qquad \|\mathbf{n}_2\|=\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{9}=3.
Logo
\cos\theta=\dfrac{|4|}{3\cdot 3}=\dfrac{4}{9}, \qquad \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{4}{9}\right).
Esse \theta é o ângulo entre os dois planos (em radianos ou graus, conforme necessário).

Passo 8

Forma alternativa (mais geométrica, útil se não houver equações explícitas). Tome a reta de interseção r dos dois planos. Escolha um plano auxiliar que seja perpendicular a r (qualquer um que satisfaça essa condição). Esse plano auxiliar corta cada um dos dois planos em uma reta; as duas retas obtidas estão no mesmo plano auxiliar e o ângulo entre essas retas é igual ao ângulo entre os planos originais. Então mede-se o ângulo entre as retas (usando vetores diretores e o produto escalar) — o procedimento de cálculo é análogo ao explicado antes. Essa construção é conceitual; na prova, se tiver as equações, a via dos normais é mais direta.

Passo 9

Observações e dicas rápidas para a prova (para te acalmar):
  • Se \mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2=0 então \theta=\dfrac{\pi}{2}: planos perpendiculares.
  • Se \mathbf{n}_1 é múltiplo escalar de \mathbf{n}_2 com sinal positivo, \theta=0: planos paralelos (mas o enunciado já disse que não são paralelos).
  • Use sempre o valor absoluto no numerador para garantir o ângulo agudo.
  • Mostre todos os passos: extrair normais → produto escalar → normas → \cos\theta \theta. Isso costuma garantir pontos na correção mesmo se errar cálculo numérico pequeno. Força! Você consegue.

Resposta

O ângulo entre dois planos não paralelos é o ângulo agudo entre os vetores normais \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 aos planos; calcula‑se por \displaystyle \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{|\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2|}{\|\mathbf{n}_1\|\;\|\mathbf{n}_2\|}\right).

Exercícios relacionados