QUESTÃO:
VALOR
Usando uma aproximação até os milésimos dos números irracionais
e
, encontraremos, respectivamente, 0,477 e 0,693 . Diante de tais resultados, calcule
?
Usando uma aproximação até os milésimos dos números irracionais
Passo 1
O enunciado dá a expressão
e informa aproximações até os milésimos de dois números irracionais:
A pergunta é: calcule
.
Listei as informações relevantes:
Listei as informações relevantes:
-
(aqui é o logaritmo decimal de ) vale aproximadamente (valor dado). -
(logaritmo natural de ) vale aproximadamente (valor dado). - Devemos usar essas aproximações para avaliar numericamente
e então tomar o valor absoluto .
Passo 2
Primeiro, simplificamos fatores que têm identidade conhecida. A identidade exponencial/logarítmica básica é
para qualquer
. Aplicando-a a
obtemos
Então a expressão fica
Passo 3
Agora simplificamos o segundo logaritmo
. Note que
e
. Usando propriedades:
Mas
é a potência que leva
em
; como
, temos
. Portanto
Substituindo na expressão de
:
Passo 4
Para avaliar numericamente
usamos a fórmula de mudança de base:
válida para
,
,
. Aplicando com
e
(valor dado
), obtemos
Logo
Agora vamos calcular cada termo numérico usando as aproximações dadas e aproximações auxiliares para
e
.
Passo 5
Calculamos
usando
:
Esse é o segundo termo numérico, com precisão coerente com as entradas dadas.
Passo 6
Agora calculamos
. Uma forma prática é partir de um valor próximo conhecido:
é próximo de
e
podemos obter exatamente via decomposição:
Sabemos
. Usando
e a aproximação
(ou lembrando
vale aproximadamente
), tem-se
. Subtraindo
(mas é mais direto:
), resulta a aproximação já conhecida
(Para ser didático, usamos o valor clássico
.)
Queremos
. Escrevemos
Como
com
(pequeno), usamos a aproximação de Taylor de segunda ordem para
:
Aqui
, então
Somando com
:
Arredondando na precisão coerente com as entradas:
.
Passo 7
Agora calculamos
. Como temos apenas
(valor truncado), avaliamos
diretamente por relação com o valor mais preciso
conhecido aproximadamente
e aplicamos correção pequena pelo truncamento de
para
. Fazendo esse ajuste por linearização (detalhes omitidos para não alongar demais os cálculos), obtemos
(Se você preferir, pense:
é um pouco menor que
, então seu log natural é um pouco mais negativo que
; a correção é muito pequena e o valor acima é consistente com a precisão que estamos usando.)
Passo 8
Agora montamos a razão
Multiplicando por
(lembrar do fator inicial
) obtemos o primeiro termo de
:
Passo 9
Somamos agora com o segundo termo calculado no Passo 5:
Portanto
é positivo e seu valor absoluto é o próprio número aproximado.