4^{\mathrm{a}} QUESTÃO: \quad( VALOR =0,8)
Usando uma aproximação até os milésimos dos números irracionais \log 3 e \ln 2, encontraremos, respectivamente, 0,477 e 0,693 . Diante de tais resultados, calcule |X| ?
X=e^{\ln 2} \cdot \log _{0,693}(\log 3)-\ln 2 \cdot \log _{8} 0,25

Passo 1

O enunciado dá a expressão
X=e^{\ln 2}\cdot\log_{0,693}(\log 3)-\ln 2\cdot\log_{8}0,25
e informa aproximações até os milésimos de dois números irracionais:
\log 3 \approx 0,477\qquad\text{e}\qquad \ln 2 \approx 0,693.
A pergunta é: calcule |X|.
Listei as informações relevantes:
  • \log 3 (aqui é o logaritmo decimal de 3) vale aproximadamente 0,477 (valor dado).
  • \ln 2 (logaritmo natural de 2) vale aproximadamente 0,693 (valor dado).
  • Devemos usar essas aproximações para avaliar numericamente X e então tomar o valor absoluto |X|.

Passo 2

Primeiro, simplificamos fatores que têm identidade conhecida. A identidade exponencial/logarítmica básica é
e^{\ln a}=a,
para qualquer a>0. Aplicando-a a a=2 obtemos
e^{\ln 2}=2.
Então a expressão fica
X=2\cdot\log_{0,693}(\log 3)-\ln 2\cdot\log_{8}0,25.

Passo 3

Agora simplificamos o segundo logaritmo \log_{8}0,25. Note que 0,25=\tfrac14=2^{-2} e 8=2^{3}. Usando propriedades:
\log_{8}0,25=\log_{8}\bigl(2^{-2}\bigr)=-2\cdot\log_{8}2.
Mas \log_{8}2 é a potência que leva 8 em 2; como 8=2^{3}, temos \log_{8}2=\tfrac{1}{3}. Portanto
\log_{8}0,25=-2\cdot\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}.
Substituindo na expressão de X:
X=2\cdot\log_{0,693}(\log 3)-\ln 2\cdot\left(-\frac{2}{3}\right) =2\cdot\log_{0,693}(\log 3)+\frac{2}{3}\,\ln 2.

Passo 4

Para avaliar numericamente \log_{0,693}(\log 3) usamos a fórmula de mudança de base:
\log_{a}b=\frac{\ln b}{\ln a},
válida para a>0, a\neq1, b>0. Aplicando com a=0,693 e b=\log 3 (valor dado 0,477), obtemos
\log_{0,693}(\log 3)=\frac{\ln(0,477)}{\ln(0,693)}.
Logo
X=2\cdot\frac{\ln(0,477)}{\ln(0,693)}+\frac{2}{3}\,\ln 2.
Agora vamos calcular cada termo numérico usando as aproximações dadas e aproximações auxiliares para \ln(0,477) e \ln(0,693).

Passo 5

Calculamos \dfrac{2}{3}\,\ln 2 usando \ln 2\approx0,693:
\frac{2}{3}\,\ln 2 \approx \frac{2}{3}\cdot 0,693=\frac{1,386}{3}=0,462.
Esse é o segundo termo numérico, com precisão coerente com as entradas dadas.

Passo 6

Agora calculamos \ln(0,477). Uma forma prática é partir de um valor próximo conhecido: 0,48 é próximo de 0,477 e \ln(0,48) podemos obter exatamente via decomposição:
\ln(0,48)=\ln\!\bigl(\tfrac{48}{100}\bigr)=\ln 48-\ln 100.
Sabemos \ln 48=\ln(16\cdot3)=\ln 16+\ln 3= \ln(2^4)+\ln 3=4\ln2+\ln 3. Usando \ln2\approx0,693 e a aproximação \ln3\approx1,099 (ou lembrando \ln3 vale aproximadamente 1,0986), tem-se \ln48\approx 4\cdot0,693+1,0986=2,772+1,0986=3,8706. Subtraindo \ln100=\ln(10^2)=2\ln10 (mas é mais direto: \ln100\approx4,605170), resulta a aproximação já conhecida
\ln(0,48)\approx -0,733969.
(Para ser didático, usamos o valor clássico \ln(0,48)\approx-0,733969.)
Queremos \ln(0,477). Escrevemos
\ln(0,477)=\ln(0,48)+\ln\!\left(\frac{0,477}{0,48}\right) =\ln(0,48)+\ln(0,99375).
Como 0,99375=1+u com u=-0,00625 (pequeno), usamos a aproximação de Taylor de segunda ordem para \ln(1+u):
\ln(1+u)\approx u-\frac{u^{2}}{2}.
Aqui u=-0,00625, então
\ln(0,99375)\approx -0,00625-\frac{(-0,00625)^{2}}{2} =-0,00625-\frac{0,0000390625}{2}=-0,00625-0,00001953125=-0,00626953125.
Somando com \ln(0,48):
\ln(0,477)\approx -0,733969-0,00626953125\approx -0,74023853125.
Arredondando na precisão coerente com as entradas: \ln(0,477)\approx -0,740239.

Passo 7

Agora calculamos \ln(0,693). Como temos apenas \ln2\approx0,693 (valor truncado), avaliamos \ln(0,693) diretamente por relação com o valor mais preciso \ln(0,693147\ldots)=\ln(\ln 2) conhecido aproximadamente -0,3665129 e aplicamos correção pequena pelo truncamento de 0,693147\ldots para 0,693. Fazendo esse ajuste por linearização (detalhes omitidos para não alongar demais os cálculos), obtemos
\ln(0,693)\approx -0,366725.
(Se você preferir, pense: 0,693 é um pouco menor que 0,693147, então seu log natural é um pouco mais negativo que -0,3665129; a correção é muito pequena e o valor acima é consistente com a precisão que estamos usando.)

Passo 8

Agora montamos a razão
\frac{\ln(0,477)}{\ln(0,693)}\approx\frac{-0,7402385}{-0,366725}\approx 2,01852.
Multiplicando por 2 (lembrar do fator inicial 2) obtemos o primeiro termo de X:
2\cdot\frac{\ln(0,477)}{\ln(0,693)}\approx 2\cdot 2,01852=4,03704.

Passo 9

Somamos agora com o segundo termo calculado no Passo 5:
X\approx 4,03704+0,462=4,49904.
Portanto X é positivo e seu valor absoluto é o próprio número aproximado.

Resposta

|X|\approx 4,499

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