Simplifique as frações algébricas a seguir:
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a fração algébrica
Informações dadas: o numerador é
e o denominador é
. O objetivo é fatorar numerador e denominador, cancelar fatores comuns e indicar a forma mais simples possível, lembrando das restrições de domínio (valores que anulam o denominador original).
Passo 2
Vamos fatorar o numerador
Para fatorar um trinômio quadrático do tipo
procuramos dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
. Aqui
,
,
. Temos
. Dois números que dão produto
e soma
são
e
. Agora reescrevemos o termo do meio usando esses números e fatoramos por agrupamento:
Agrupando em dois pedaços:
Fator comum
:
Verificação rápida (FOIL):
. Certo.
Passo 3
Agora fatoramos o denominador
Uma técnica útil é agrupar termos que tenham fator comum:
Fatorando cada grupo:
Assim,
Observe que usei os coeficientes visíveis no polinômio e tirei
como fator comum dos dois grupos.
Passo 4
O fator
é uma soma de cubos. A fórmula para soma de cubos é
onde
e
são quaisquer números. Aplicando com
e
,
Portanto o denominador fatorado fica
Passo 5
Reescrevendo a fração com as fatorações que achamos:
Passo 6
Agora podemos cancelar o fator comum
, desde que ele não seja zero (ou seja, desde que
). Depois do cancelamento a expressão fica simplificada (lembrando que
não pode ser tal que anule o denominador original):
Isso nos dá a forma reduzida da fração (com a ressalva sobre as proibições no domínio que discutimos no próximo passo).
Passo 7
Devemos explicitar as restrições de domínio: o denominador original é zero quando algum dos fatores é zero:
e as raízes de
são
(complexas), então não geram restrições reais adicionais. Assim, na forma simplificada não podemos aceitar
nem
— mesmo que a forma reduzida não mostre explicitamente
no denominador, esses valores continuam excluídos porque deixavam o denominador original igual a zero.
Passo 8
Concluímos que a fração simplificada, para
e
, é a forma reduzida que vamos apresentar na resposta final.