Simplifique as frações algébricas a seguir:
c) \frac{6 x^{2}-x-2}{2 x^{4}+x^{3}+2 x+1}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a fração algébrica
\frac{6x^{2}-x-2}{2x^{4}+x^{3}+2x+1}.
Informações dadas: o numerador é 6x^{2}-x-2 e o denominador é 2x^{4}+x^{3}+2x+1. O objetivo é fatorar numerador e denominador, cancelar fatores comuns e indicar a forma mais simples possível, lembrando das restrições de domínio (valores que anulam o denominador original).

Passo 2

Vamos fatorar o numerador \;6x^{2}-x-2\;. Para fatorar um trinômio quadrático do tipo \;ax^{2}+bx+c\; procuramos dois números cujo produto seja a\cdot c e cuja soma seja b. Aqui a=6, b=-1, c=-2. Temos a\cdot c=6\cdot(-2)=-12. Dois números que dão produto -12 e soma -1 são -4 e 3. Agora reescrevemos o termo do meio usando esses números e fatoramos por agrupamento:
6x^{2}-x-2 = 6x^{2}-4x+3x-2.
Agrupando em dois pedaços:
(6x^{2}-4x)+(3x-2)=2x(3x-2)+1(3x-2).
Fator comum 3x-2:
6x^{2}-x-2=(3x-2)(2x+1).
Verificação rápida (FOIL): (3x-2)(2x+1)=6x^{2}+3x-4x-2=6x^{2}-x-2. Certo.

Passo 3

Agora fatoramos o denominador \;2x^{4}+x^{3}+2x+1\;. Uma técnica útil é agrupar termos que tenham fator comum:
2x^{4}+x^{3}+2x+1 = (2x^{4}+x^{3})+(2x+1).
Fatorando cada grupo:
2x^{4}+x^{3}=x^{3}(2x+1),\qquad 2x+1=1\cdot(2x+1).
Assim,
2x^{4}+x^{3}+2x+1 = (2x+1)(x^{3}+1).
Observe que usei os coeficientes visíveis no polinômio e tirei 2x+1 como fator comum dos dois grupos.

Passo 4

O fator x^{3}+1 é uma soma de cubos. A fórmula para soma de cubos é
a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}),
onde a e b são quaisquer números. Aplicando com a=x e b=1,
x^{3}+1=(x+1)(x^{2}-x+1).
Portanto o denominador fatorado fica
2x^{4}+x^{3}+2x+1=(2x+1)(x+1)(x^{2}-x+1).

Passo 5

Reescrevendo a fração com as fatorações que achamos:
\frac{6x^{2}-x-2}{2x^{4}+x^{3}+2x+1} = \frac{(3x-2)(2x+1)}{(2x+1)(x+1)(x^{2}-x+1)}.

Passo 6

Agora podemos cancelar o fator comum \;2x+1\;, desde que ele não seja zero (ou seja, desde que 2x+1\neq0). Depois do cancelamento a expressão fica simplificada (lembrando que x não pode ser tal que anule o denominador original):
\frac{(3x-2)\,\cancel{(2x+1)}}{\cancel{(2x+1)}(x+1)(x^{2}-x+1)}.
Isso nos dá a forma reduzida da fração (com a ressalva sobre as proibições no domínio que discutimos no próximo passo).

Passo 7

Devemos explicitar as restrições de domínio: o denominador original é zero quando algum dos fatores é zero:
2x+1=0\Rightarrow x=-\tfrac{1}{2},\qquad x+1=0\Rightarrow x=-1,
e as raízes de x^{2}-x+1 são \frac{1\pm\sqrt{-3}}{2} (complexas), então não geram restrições reais adicionais. Assim, na forma simplificada não podemos aceitar x=-\tfrac{1}{2} nem x=-1 — mesmo que a forma reduzida não mostre explicitamente 2x+1 no denominador, esses valores continuam excluídos porque deixavam o denominador original igual a zero.

Passo 8

Concluímos que a fração simplificada, para x\neq -\tfrac{1}{2} e x\neq -1, é a forma reduzida que vamos apresentar na resposta final.

Resposta

\displaystyle \frac{3x-2}{(x+1)(x^{2}-x+1)}

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