Simplifique as frações algébricas a seguir:
b) \frac{8 x^{3}+24 x^{2}+24 x+8}{2 x^{2}-x-10}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a fração algébrica
\frac{8 x^{3}+24 x^{2}+24 x+8}{2 x^{2}-x-10}.
Informações dadas:
\text{numerador } = 8 x^{3}+24 x^{2}+24 x+8,
\text{denominador } = 2 x^{2}-x-10.
O objetivo é fatorar numerador e denominador e cancelar fatores comuns, se existirem. Lembre-se que valores que anulam o denominador devem ser excluídos da solução.

Passo 2

Vamos fatorar o numerador. Primeiro noto um fator comum 8, então
8 x^{3}+24 x^{2}+24 x+8 = 8\bigl(x^{3}+3x^{2}+3x+1\bigr).
Reconhecemos o polinômio dentro dos parênteses como o cubo de um binómio: (x+1)^{3} = x^{3}+3x^{2}+3x+1. Portanto
\text{numerador} = 8(x+1)^{3}.
Breve explicação do reconhecimento: a expansão de (a+b)^{3} é \,a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}. Tomando a=x e b=1 obtém-se exatamente x^{3}+3x^{2}+3x+1.

Passo 3

Agora fatoramos o denominador \,2x^{2}-x-10. Podemos usar a fórmula quadrática ou procurar fatores inteiros. Calculo o discriminante:
\Delta = (-1)^{2}-4\cdot 2\cdot(-10)=1+80=81.
Como \sqrt{\Delta}=9, as raízes são
x=\frac{1\pm 9}{4}.
Logo as raízes são x=\dfrac{10}{4}=\dfrac{5}{2} e x=\dfrac{-8}{4}=-2. Assim o polinómio fatora como produto de dois fatores lineares (com coeficientes inteiros):
2x^{2}-x-10 = (2x-5)(x+2).
Verificação rápida: (2x-5)(x+2)=2x^{2}+4x-5x-10=2x^{2}-x-10.

Passo 4

Substituindo as fatorações na fração original obtemos
\frac{8 x^{3}+24 x^{2}+24 x+8}{2 x^{2}-x-10} = \frac{8(x+1)^{3}}{(2x-5)(x+2)}.
Para simplificar é preciso verificar se algum dos fatores (x+1), (2x-5) ou (x+2) é comum ao numerador e denominador. Aqui o numerador só tem fator linear (x+1) (multiplicado três vezes) e o denominador tem (2x-5) e (x+2). Não há fatores idênticos a cancelar. Portanto não é possível reduzir mais por cancelamento algébrico.

Passo 5

Não esquecer da restrição de domínio: os valores que anulam o denominador são x=\dfrac{5}{2} e x=-2, então esses valores devem ser excluídos da expressão original.

Resposta

\displaystyle \frac{8(x+1)^{3}}{(2x-5)(x+2)}

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