Simplifique as frações algébricas a seguir:
b)
b)
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a fração algébrica
Informações dadas:
O objetivo é fatorar numerador e denominador e cancelar fatores comuns, se existirem. Lembre-se que valores que anulam o denominador devem ser excluídos da solução.
Passo 2
Vamos fatorar o numerador. Primeiro noto um fator comum
, então
Reconhecemos o polinômio dentro dos parênteses como o cubo de um binómio:
. Portanto
Breve explicação do reconhecimento: a expansão de
é
. Tomando
e
obtém-se exatamente
.
Passo 3
Agora fatoramos o denominador
. Podemos usar a fórmula quadrática ou procurar fatores inteiros. Calculo o discriminante:
Como
, as raízes são
Logo as raízes são
e
. Assim o polinómio fatora como produto de dois fatores lineares (com coeficientes inteiros):
Verificação rápida:
.
Passo 4
Substituindo as fatorações na fração original obtemos
Para simplificar é preciso verificar se algum dos fatores
,
ou
é comum ao numerador e denominador. Aqui o numerador só tem fator linear
(multiplicado três vezes) e o denominador tem
e
. Não há fatores idênticos a cancelar. Portanto não é possível reduzir mais por cancelamento algébrico.
Passo 5
Não esquecer da restrição de domínio: os valores que anulam o denominador são
e
, então esses valores devem ser excluídos da expressão original.