3^{\mathrm{a}} Questão: Sabendo que, em um átomo de hidrogênio, a energia do fóton liberado na transição eletrônica de um nível n+1 para n-1 é 3/16 y e responda:
a) Qual a energia em eV do fóton emitido na transição do elétron do nível n para n-1 ?
b) Qual o comprimento de onda em nm do fóton emitido na transição n para \mathrm{n}-1 ?
c) O fóton emitido está na região visível do espectro eletromagnético?

Passo 1

O enunciado nos dá a seguinte informação e pede três coisas.
  • Informação dada (peguei isto do enunciado): a energia do fóton liberado na transição do nível n+1 para o nível n-1 vale \tfrac{3}{16}\,R_y, onde R_y é a energia de Rydberg do átomo de hidrogênio.
  • Valor numérico que usarei para R_y (constante conhecida do hidrogênio): R_y=13{,}6\\ \text{eV}. Portanto \tfrac{3}{16}R_y=\tfrac{3}{16}\times13{,}6\\ \text{eV}.
  • Perguntas que o enunciado faz:
    a) Qual a energia em eV do fóton emitido na transição do nível n para n-1?
    b) Qual o comprimento de onda em nm do fóton emitido na transição n para n-1?
    c) Esse fóton está na região visível do espectro eletromagnético?

Passo 2

Relembre a fórmula das energias dos níveis do átomo de hidrogênio (essa é a base para todos os cálculos): a energia do nível com número quântico principal m é
E_m = -R_y\frac{1}{m^2},
onde R_y=13{,}6\\ \text{eV}. Explicando: \,E_m é a energia (em eV) do elétron no nível m; o sinal negativo significa que o elétron está ligado ao núcleo; o fator 1/m^2 indica que os níveis ficam mais próximos conforme m cresce.

Passo 3

Escrevo a energia do fóton emitido numa transição qualquer do nível inicial i para o final f (com i>f):
E_{\text{fóton}} = E_i - E_f = -R_y\frac{1}{i^2} - \left(-R_y\frac{1}{f^2}\right)=R_y\left(\frac{1}{f^2}-\frac{1}{i^2}\right).ó
No nosso caso dado pelo enunciado a transição é i=n+1 e f=n-1. Então a energia do fóton para essa transição é
E_{(n+1)\to(n-1)} = R_y\!\left(\frac{1}{(n-1)^2}-\frac{1}{(n+1)^2}\right).

Passo 4

Simplifico a expressão para E_{(n+1)\to(n-1)}. Calculo a diferença de frações:
\frac{1}{(n-1)^2}-\frac{1}{(n+1)^2} =\frac{(n+1)^2-(n-1)^2}{(n-1)^2(n+1)^2} =\frac{4n}{(n-1)^2(n+1)^2}.
Portanto
E_{(n+1)\to(n-1)} = R_y\frac{4n}{(n-1)^2(n+1)^2}.

Passo 5

Usando o dado do enunciado: E_{(n+1)\to(n-1)}=\dfrac{3}{16}R_y. Igualo às duas expressões e cancelo R_y:
\frac{4n}{(n-1)^2(n+1)^2}=\frac{3}{16}.
Multiplico ambos os lados por (n-1)^2(n+1)^2 e por 16:
64n = 3\,(n-1)^2(n+1)^2.
Observação útil: (n-1)^2(n+1)^2=(n^2-1)^2. Logo a equação fica
64n = 3\,(n^2-1)^2.

Passo 6

Agora procuro n inteiro ( n\ge2) que satisfaça a equação. Em vez de desenvolver um polinômio quartico, é mais prático testar valores inteiros pequenos (isso é comum em prova): teste n=2,3,4,\dots.
  • Para n=2: Lado esquerdo 64\cdot2=128. Lado direito 3(2^2-1)^2=3(4-1)^2=3\cdot9=27. Não bate.
  • Para n=3: Lado esquerdo 64\cdot3=192. Lado direito 3(3^2-1)^2=3(9-1)^2=3\cdot64=192. Bate exatamente.
Portanto a solução é n=3. (Bom: testar inteiros pequenos é rápido e típico em provas quando se espera n inteiro.)

Passo 7

Agora que sabemos n=3, calculamos a energia do fóton na transição pedida na parte (a): transição n\to n-1 é 3\to2. Use a fórmula geral
E_{n\to n-1}=R_y\left(\frac{1}{(n-1)^2}-\frac{1}{n^2}\right).
Substituindo n=3:
E_{3\to2}=R_y\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}\right)=R_y\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{9}\right)=R_y\frac{5}{36}.
Agora coloco o valor numérico R_y=13{,}6\\ \text{eV}:
E_{3\to2}=13{,}6\times\frac{5}{36}=\frac{68}{36}\\ \text{eV}=\frac{17}{9}\\ \text{eV}\approx1{,}8889\\ \text{eV}.

Passo 8

Parte (b): converter energia em comprimento de onda. A relação entre energia em eV e comprimento de onda em nm é
E(\text{eV})=\frac{hc}{\lambda},
onde hc em unidades convenientes vale aproximadamente 1240\\ \text{eV}\cdot\text{nm}. Assim
\lambda(\text{nm})=\frac{1240}{E(\text{eV})}.
Substituindo E_{3\to2}=\dfrac{17}{9}\\ \text{eV}:
\lambda=\frac{1240}{\tfrac{17}{9}}=1240\cdot\frac{9}{17}=\frac{11160}{17}\\ \text{nm}\approx656{,}47\\ \text{nm}.

Passo 9

Parte (c): comparação com a região visível. A faixa visível é, aproximadamente, de 380\\ \text{nm} a 750\\ \text{nm}. Nosso valor \lambda\approx656{,}47\\ \text{nm} está dentro dessa faixa. Conclusão: o fóton emitido está na região visível, mais precisamente na região vermelha (linha Hα da série de Balmer).

Resposta

a) E_{3\to2}=\dfrac{17}{9}\\ \text{eV}\approx1{,}8889\\ \text{eV}
b) \lambda\approx656{,}47\\ \text{nm}
c) Sim. O fóton está na região visível (linha vermelha, \approx656\\ \text{nm}).

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