Questão: Para o átomo de hidrogênio sabemos que a energia En de um elétron em seu nível n é dada por:
Mostre que a energia do fóton (Eλ) emitido na transição eletrônica do nível
a para
é dada por:
Passo 1
O enunciado dá a energia do elétron no nível
do átomo de hidrogênio:
Também são fornecidas as restrições:
,
e
.
O que se pede: mostrar que a energia do fóton emitido quando o elétron faz a transição do nível para o nível
é
O que se pede: mostrar que a energia do fóton emitido quando o elétron faz a transição do nível
Passo 2
Entendimento físico e fórmula básica que vamos usar: quando um elétron salta de um nível inicial
para um nível final
emitindo um fóton, a energia do fóton é igual à diferença de energia entre os níveis:
Aqui o nível inicial é
(maior
, energia menos negativa) e o nível final é
(menor
, energia mais negativa). Como
é negativa, a diferença
deve ser positiva para emissão — vamos calcular essa diferença explicitamente.
Passo 3
Escrever as energias dos níveis inicial e final usando a fórmula dada:
Aplicando a regra da emissão,
Passo 4
Fazer a subtração das frações, colocando em denominador comum:
Passo 5
Calcular o numerador usando expansão das quadraturas:
Subtraindo,
Portanto o numerador simplifica para
.
Passo 6
Simplificar o denominador: observe que
Substituindo numerador e denominador na expressão de
,
Essa é a fórmula pedida. Nota prática para prova: usar diretamente a identidade de diferença de recíprocos
acelera o cálculo.
Passo 7
Exemplo numérico rápido para conferir (útil para checar no exame): escolha
e
. Então os níveis são
e
.
Calcular usando os :
Calcular usando os
Energia do fóton:
Agora usando a fórmula:
confirmação perfeita.