2^{\mathrm{a}} Questão: Para o átomo de hidrogênio sabemos que a energia En de um elétron em seu nível n é dada por:
E n=-\gamma / n^{2}, \operatorname{com} \gamma=13,6 \mathrm{eV}
Mostre que a energia do fóton (Eλ) emitido na transição eletrônica do nível n+ a para n-a é dada por:
E \lambda=4 a n \gamma /\left(n^{2}-a^{2}\right)^{2}, \text { com } n \in N^{\star} e n>a, a=(1,2,3,4, \ldots)

Passo 1

O enunciado dá a energia do elétron no nível n do átomo de hidrogênio:
E_n = -\gamma / n^{2},\quad \text{com}\\ \gamma = 13{,}6\\ \text{eV}.
Também são fornecidas as restrições: n\in\mathbb{N}^\star, a\in\{1,2,3,\dots\} e n>a.
O que se pede: mostrar que a energia do fóton emitido quando o elétron faz a transição do nível n+a para o nível n-a é
E_\lambda = \frac{4 a n \gamma}{\left(n^{2}-a^{2}\right)^{2}}.

Passo 2

Entendimento físico e fórmula básica que vamos usar: quando um elétron salta de um nível inicial \,n_i para um nível final \,n_f emitindo um fóton, a energia do fóton é igual à diferença de energia entre os níveis:
E_\lambda = E_{n_i}-E_{n_f}.
Aqui o nível inicial é n_i=n+a (maior n, energia menos negativa) e o nível final é n_f=n-a (menor n, energia mais negativa). Como E_n é negativa, a diferença E_{n+a}-E_{n-a} deve ser positiva para emissão — vamos calcular essa diferença explicitamente.

Passo 3

Escrever as energias dos níveis inicial e final usando a fórmula dada:
E_{n+a} = -\frac{\gamma}{(n+a)^{2}}, \qquad E_{n-a} = -\frac{\gamma}{(n-a)^{2}}.
Aplicando a regra da emissão,
E_\lambda = E_{n+a}-E_{n-a} = -\frac{\gamma}{(n+a)^{2}} - \left(-\frac{\gamma}{(n-a)^{2}}\right).

Passo 4

Fazer a subtração das frações, colocando em denominador comum:
E_\lambda = \gamma\left(\frac{1}{(n-a)^{2}} - \frac{1}{(n+a)^{2}}\right) = \gamma\cdot\frac{(n+a)^{2}-(n-a)^{2}}{(n-a)^{2}(n+a)^{2}}.

Passo 5

Calcular o numerador usando expansão das quadraturas:
(n+a)^{2} = n^{2}+2an+a^{2}, \qquad (n-a)^{2} = n^{2}-2an+a^{2}.
Subtraindo,
(n+a)^{2}-(n-a)^{2} = (n^{2}+2an+a^{2})-(n^{2}-2an+a^{2}) = 4an.
Portanto o numerador simplifica para 4an.

Passo 6

Simplificar o denominador: observe que
(n-a)^{2}(n+a)^{2} = \big((n-a)(n+a)\big)^{2} = \big(n^{2}-a^{2}\big)^{2}.
Substituindo numerador e denominador na expressão de E_\lambda,
E_\lambda = \gamma\cdot\frac{4 a n}{\left(n^{2}-a^{2}\right)^{2}} = \frac{4 a n \gamma}{\left(n^{2}-a^{2}\right)^{2}}.
Essa é a fórmula pedida. Nota prática para prova: usar diretamente a identidade de diferença de recíprocos
\dfrac{1}{(n-a)^2}-\dfrac{1}{(n+a)^2}=\dfrac{(n+a)^2-(n-a)^2}{(n^2-a^2)^2} acelera o cálculo.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para conferir (útil para checar no exame): escolha n=3 e a=1. Então os níveis são n+a=4 e n-a=2.
Calcular usando os E_n:
E_4 = -\frac{13{,}6}{4^{2}} = -\frac{13{,}6}{16} = -0{,}85\\ \text{eV}, \qquad E_2 = -\frac{13{,}6}{2^{2}} = -\frac{13{,}6}{4} = -3{,}4\\ \text{eV}.
Energia do fóton:
E_\lambda = E_4 - E_2 = -0{,}85 - (-3{,}4) = 2{,}55\\ \text{eV}.
Agora usando a fórmula:
E_\lambda = \frac{4\cdot 1\cdot 3\cdot 13{,}6}{(3^{2}-1^{2})^{2}} = \frac{163{,}2}{(9-1)^{2}} = \frac{163{,}2}{64} = 2{,}55\\ \text{eV},
confirmação perfeita.

Resposta

E_\lambda=\frac{4 a n \gamma}{\left(n^{2}-a^{2}\right)^{2}}

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