QUESTÃO:
VALOR
Mostre que, sendo
um ângulo agudo, sempre temos:
Mostre que, sendo
Passo 1
O enunciado pede que mostremos que, sendo
um ângulo agudo, sempre vale a igualdade
Informações dadas e observações imediatas:
-
é ângulo agudo, ou seja, (em radianos: ); em particular , então podemos dividir por e por sem problema. - Precisamos provar a igualdade para todo
desse intervalo.
Passo 2
Vamos lembrar as definições trigonométricas básicas que vamos usar (explicando cada símbolo):
-
é o seno de (a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa num triângulo retângulo). -
é o cosseno de (a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa). -
é a cotangente de , definida por
Aqui
é a razão entre
e
.
-
é a cossecante de , definida por
Aqui
é o inverso do seno.
Passo 3
Uma identidade fundamental (a identidade pitagórica) é
Explicação breve: essa igualdade vem do triângulo retângulo inscrito no círculo unitário ou da propriedade trigonométrica básica — é válida para todo
. As potências significam
e
.
Passo 4
Como
é agudo,
. Então podemos dividir a identidade pitagórica por
sem alterar a validade. Dividindo ambos os termos por
obtemos:
Passo 5
Simplificamos cada termo da igualdade do Passo 4:
-
. -
, usando a definição de . -
, usando a definição de .
Substituindo essas simplificações na igualdade do Passo 4 obtemos:
Passo 6
Reescrevendo a igualdade na ordem pedida (somando
antes de
) temos exatamente
Comentário pedagógico: outra maneira equivalente é começar substituindo
e
diretamente em
e ver que dá
, chegando ao mesmo resultado. A divisão pelo seno é permitida porque em ângulo agudo
.
Passo 7
Exemplo numérico rápido para conferir (opcional, só para ganhar confiança): se
então
,
. Assim
e
;
e
. Logo
, conferindo a identidade.