1{ }^{\mathrm{a}} QUESTÃO: ( VALOR =0,8)
Mostre que, sendo x um ângulo agudo, sempre temos: \cot ^{2} x+1=\csc ^{2} x

Passo 1

O enunciado pede que mostremos que, sendo x um ângulo agudo, sempre vale a igualdade
\cot^{2}x+1=\csc^{2}x.
Informações dadas e observações imediatas:
  • x é ângulo agudo, ou seja, 0^\circ<x<90^\circ (em radianos: 0<x<\tfrac{\pi}{2}); em particular \sin x>0, então podemos dividir por \sin x e por \sin^{2}x sem problema.
  • Precisamos provar a igualdade para todo x desse intervalo.

Passo 2

Vamos lembrar as definições trigonométricas básicas que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • \sin x é o seno de x (a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa num triângulo retângulo).
  • \cos x é o cosseno de x (a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa).
  • \cot x é a cotangente de x, definida por
\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}.
Aqui \cot x é a razão entre \cos x e \sin x.
  • \csc x é a cossecante de x, definida por
\csc x=\frac{1}{\sin x}.
Aqui \csc x é o inverso do seno.

Passo 3

Uma identidade fundamental (a identidade pitagórica) é
\sin^{2}x+\cos^{2}x=1.
Explicação breve: essa igualdade vem do triângulo retângulo inscrito no círculo unitário ou da propriedade trigonométrica básica — é válida para todo x. As potências significam \sin^{2}x=(\sin x)^{2} e \cos^{2}x=(\cos x)^{2}.

Passo 4

Como x é agudo, \sin x\neq 0. Então podemos dividir a identidade pitagórica por \sin^{2}x sem alterar a validade. Dividindo ambos os termos por \sin^{2}x obtemos:
\frac{\sin^{2}x}{\sin^{2}x}+\frac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x}=\frac{1}{\sin^{2}x}.

Passo 5

Simplificamos cada termo da igualdade do Passo 4:
  • \dfrac{\sin^{2}x}{\sin^{2}x}=1.
  • \dfrac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x}=\left(\dfrac{\cos x}{\sin x}\right)^{2}=\cot^{2}x, usando a definição de \cot x.
  • \dfrac{1}{\sin^{2}x}=\left(\dfrac{1}{\sin x}\right)^{2}=\csc^{2}x, usando a definição de \csc x.
Substituindo essas simplificações na igualdade do Passo 4 obtemos:
1+\cot^{2}x=\csc^{2}x.

Passo 6

Reescrevendo a igualdade na ordem pedida (somando \cot^{2}x antes de 1) temos exatamente
\cot^{2}x+1=\csc^{2}x.
Comentário pedagógico: outra maneira equivalente é começar substituindo \cot x=\cos x/\sin x e \csc x=1/\sin x diretamente em \cot^{2}x+1 e ver que dá (\cos^{2}x+\sin^{2}x)/\sin^{2}x=1/\sin^{2}x, chegando ao mesmo resultado. A divisão pelo seno é permitida porque em ângulo agudo \sin x>0.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para conferir (opcional, só para ganhar confiança): se x=30^\circ então \sin x=\tfrac{1}{2}, \cos x=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Assim \cot x=\sqrt{3} e \cot^{2}x=3; \csc x=2 e \csc^{2}x=4. Logo \cot^{2}x+1=3+1=4=\csc^{2}x, conferindo a identidade.

Resposta

\cot^{2}x+1=\csc^{2}x

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