Considerando x>0, determine uma solução geral de:
x^{3} y^{\prime \prime \prime}+4 x^{2} y^{\prime \prime}-2 y=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^{3}y^{\prime\prime\prime}+4x^{2}y^{\prime\prime}-2y=0
e a condição x>0. A tarefa é determinar a solução geral dessa equação, isto é, encontrar todas as funções y(x) que satisfazem a equação para x>0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é linear de ordem 3 com coeficientes que são potências de x.
  • Estamos interessados na solução geral válida para x>0.
    Não vamos resolver nada ainda; apenas identificamos o que é pedido e o que temos.

Passo 2

Ideia para resolver (apresento a técnica e ensino): como os coeficientes são potências de x, uma boa tentativa é procurar soluções da forma
y=x^{m},
onde m é um número (constante) a determinar. Essa tentativa funciona porque derivadas de x^{m} mantêm a forma de potência de x, o que costuma transformar a equação diferencial numa equação algébrica para m.
Agora calculemos as derivadas de y=x^{m}:
y'=m x^{m-1},
y''=m(m-1)x^{m-2},
y'''=m(m-1)(m-2)x^{m-3}.

Passo 3

Substituímos essas derivadas na equação dada. Primeiro compute cada termo multiplicado pelos fatores em x:
x^{3}y''' = x^{3}\cdot m(m-1)(m-2)x^{m-3} = m(m-1)(m-2)x^{m},
4x^{2}y'' = 4x^{2}\cdot m(m-1)x^{m-2} = 4m(m-1)x^{m},
-2y = -2x^{m}.
Somando tudo na equação obtemos
\bigl[m(m-1)(m-2) + 4m(m-1) - 2\bigr]x^{m}=0.
Como x^{m}\neq 0 para x>0, podemos dividir por x^{m} e obter a equação característica (uma equação algébrica para m):
m(m-1)(m-2) + 4m(m-1) - 2 = 0.

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão passo a passo. Primeiro expandimos m(m-1)(m-2):
m(m-1)(m-2) = m\bigl(m^{2}-3m+2\bigr) = m^{3}-3m^{2}+2m.
E 4m(m-1)=4m^{2}-4m. Somando tudo e o -2:
m^{3}-3m^{2}+2m + 4m^{2}-4m -2 = m^{3}+m^{2}-2m-2.
Portanto a equação característica é
m^{3}+m^{2}-2m-2=0.

Passo 5

Agora encontramos as raízes do polinômio cúbico \;m^{3}+m^{2}-2m-2. Testamos raízes inteiras simples (regra de racional roots): tente m=-1:
(-1)^{3}+(-1)^{2}-2(-1)-2 = -1+1+2-2 = 0,
logo m=-1 é raiz. Fazendo a divisão do polinômio por (m+1) (ou usando divisão sintética) obtemos o quociente
m^{2}-2.
Logo o polinômio se fatoriza como
m^{3}+m^{2}-2m-2 = (m+1)(m^{2}-2).
As raízes do fator quadrático são
m=\sqrt{2}\quad\text{e}\quad m=-\sqrt{2}.

Passo 6

Resumo das raízes distintas obtidas:
m_{1}=-1,\qquad m_{2}=\sqrt{2},\qquad m_{3}=-\sqrt{2}.
Para uma equação de Euler (ou equidimensional) de ordem 3, cada raiz distinta m fornece uma solução independente y=x^{m}. Assim três soluções independentes são
x^{-1},\quad x^{\sqrt{2}},\quad x^{-\sqrt{2}}.
Essas três soluções são linearmente independentes (porque as expoentes são distintos), e a combinação linear delas dá a solução geral da equação linear de ordem 3.

Passo 7

Concluímos que a solução geral da equação, válida para x>0, é a combinação linear das três soluções encontradas. Introduzimos constantes arbitrárias C_{1},C_{2},C_{3} (constantes de integração) e escrevemos a solução geral.

Resposta

y(x)=C_{1}x^{-1}+C_{2}x^{\sqrt{2}}+C_{3}x^{-\sqrt{2}}

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