Considerando
, determine uma solução geral de:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e a condição
. A tarefa é determinar a solução geral dessa equação, isto é, encontrar todas as funções
que satisfazem a equação para
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é linear de ordem 3 com coeficientes que são potências de
. - Estamos interessados na solução geral válida para
.
Não vamos resolver nada ainda; apenas identificamos o que é pedido e o que temos.
Passo 2
Ideia para resolver (apresento a técnica e ensino): como os coeficientes são potências de
, uma boa tentativa é procurar soluções da forma
onde
é um número (constante) a determinar. Essa tentativa funciona porque derivadas de
mantêm a forma de potência de
, o que costuma transformar a equação diferencial numa equação algébrica para
.
Agora calculemos as derivadas de
:
Passo 3
Substituímos essas derivadas na equação dada. Primeiro compute cada termo multiplicado pelos fatores em
:
Somando tudo na equação obtemos
Como
para
, podemos dividir por
e obter a equação característica (uma equação algébrica para
):
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão passo a passo. Primeiro expandimos
:
E
. Somando tudo e o
:
Portanto a equação característica é
Passo 5
Agora encontramos as raízes do polinômio cúbico
. Testamos raízes inteiras simples (regra de racional roots): tente
:
logo
é raiz. Fazendo a divisão do polinômio por
(ou usando divisão sintética) obtemos o quociente
Logo o polinômio se fatoriza como
As raízes do fator quadrático são
Passo 6
Resumo das raízes distintas obtidas:
Para uma equação de Euler (ou equidimensional) de ordem 3, cada raiz distinta
fornece uma solução independente
. Assim três soluções independentes são
Essas três soluções são linearmente independentes (porque as expoentes são distintos), e a combinação linear delas dá a solução geral da equação linear de ordem 3.
Passo 7
Concluímos que a solução geral da equação, válida para
, é a combinação linear das três soluções encontradas. Introduzimos constantes arbitrárias
(constantes de integração) e escrevemos a solução geral.