2{ }^{\text {a }} QUESTÃO (VALOR: 3 PONTOS)

Rejeitos radioativos ( \mathrm{k}=0,7 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) são enterrados no solo ( \mathrm{k}=0,4 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) a uma profundidade \mathrm{z}=5 \mathrm{~m}, em um recipiente esférico de aço inoxidável ( \mathrm{k}=32 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ), de 1,4 \mathrm{~m} de diâmetro de externo e 8 cm de parede. Tal esfera possui ainda, um revestimento de 35 cm de uma manta isolante ( \mathrm{k}=0,08 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ). Sabendo que calor é gerado no interior dos rejeitos a uma taxa volumétrica uniforme de 1 \times 10^{3} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3} e que a temperatura no centro dos rejeitos é de 1000 K , determine a temperatura na superfície do solo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados geométricos e condutividades (peguei todos estes valores do enunciado):
    • diâmetro externo da esfera de aço: 1{,}4\\ \mathrm{m} \Rightarrow raio externo da casca de aço r_{s,ext}=0{,}70\\ \mathrm{m}.
    • espessura da parede de aço: 0{,}08\\ \mathrm{m} \Rightarrow raio interno da casca (raio do volume dos rejeitos) a = 0{,}70-0{,}08 = 0{,}62\\ \mathrm{m}.
    • manta isolante de espessura 0{,}35\\ \mathrm{m} colocada externamente: raio externo da manta r_{m,ext}=0{,}70+0{,}35 = 1{,}05\\ \mathrm{m}.
    • profundidade do centro da esfera em relação à superfície do solo: z=5\\ \mathrm{m}. Portanto a distância do centro até a superfície é r_{\text{superf}}=5\\ \mathrm{m}.
  • Condutividades térmicas:
    • rejeitos (meio interno): k_{\text{r}}=0{,}7\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
    • solo: k_{\text{solo}}=0{,}4\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
    • aço inoxidável: k_{\text{aço}}=32\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}ç.
    • manta isolante: k_{\text{m}}=0{,}08\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Geração volumétrica uniforme no interior dos rejeitos:
    • \dot{q}=1\times10^{3}\\ \mathrm{W/m^{3}}.
  • Temperatura no centro dos rejeitos:
    • T(0)=1000\\ \mathrm{K}.
O que se pede:
  • Determinar a temperatura na superfície do solo (temperatura no ponto da superfície diretamente acima do centro da esfera), isto é T_{\text{superf}}.

Passo 2

Plano de solução e fórmulas que vamos usar (explicando o porquê):
  • Em regime estacionário, toda a potência gerada no volume interno sai radialmente para o exterior. A potência total gerada é
Q=\dot{q}\cdot V_{\text{esfera}}=\dot{q}\cdot \frac{4}{3}\pi a^{3}.
  • A distribuição de temperatura dentro de uma esfera sólida com geração volumétrica uniforme e condutividade k é, para 0\le r\le a,
T(r)=T(a)+\frac{\dot{q}}{6k}\left(a^{2}-r^{2}\right).
Em particular, a temperatura central \,T(0)=T(a)+\dfrac{\dot{q}a^{2}}{6k}\,. Isso nos permite obter a temperatura na superfície interna T(a) a partir de T(0).
  • Para condução radial estacionária através de uma casca esférica de condutividade k entre raios r_1 e r_2 (com fluxo total Q), a queda de temperatura é
\Delta T = T(r_{1})-T(r_{2})=\frac{Q}{4\pi k}\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\right).
Essa fórmula é análoga à lei de Ohm em resistência térmica de casca esférica.
  • Para o solo exterior (meio extenso), a solução externa a uma esfera com geração uniforme no interior (isto é, para r\ge a) tem a forma
T(r)=T_{\infty}+\frac{Q}{4\pi k_{\text{solo}}\,r},
onde T_{\infty} é a temperatura a larga distância. Podemos usar continuidade de temperatura na fronteira entre manta e solo (em r=r_{m,ext}) — isto fornece relação entre T_{\infty} e a temperatura obtida através das resistências internas — e então calcular T(r_{\text{superf}}). Na prática fica conveniente usar a expressão para queda de temperatura no solo entre r_{m,ext} e r_{\text{superf}}:
T(r_{\text{superf}})=T(r_{m,ext})+\frac{Q}{4\pi k_{\text{solo}}}\left(\frac{1}{r_{\text{superf}}}-\frac{1}{r_{m,ext}}\right).
  • Resumindo: calcular Q, obter T(a) a partir de T(0), aplicar quedas de temperatura pela casca de aço e pela manta para obter T(r_{m,ext}), e por fim propagar essa temperatura até a superfície usando a expressão acima para o solo.

Passo 3

Calcular os raios (já parcialmente listados) e reafirmar valores numéricos que usaremos:
a=0{,}62\\ \mathrm{m},\qquad r_{s,ext}=0{,}70\\ \mathrm{m},\qquad r_{m,ext}=1{,}05\\ \mathrm{m},\qquad r_{\text{superf}}=5{,}0\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular a potência total gerada Q:
Q=\dot{q}\cdot \frac{4}{3}\pi a^{3}.
Substituindo:
a^{3}=0{,}62^{3}=0{,}238328\quad\Rightarrow\quad Q=10^{3}\cdot\frac{4}{3}\pi\cdot 0{,}238328 \approx 998{,}3\\ \mathrm{W}.
(Arredondei para uma casa decimal onde conveniente; unidades em \mathrm{W}.)

Passo 5

Determinar a temperatura na superfície interna da esfera de rejeitos T(a) usando a relação da esfera com geração:
T(0)=T(a)+\frac{\dot{q}\,a^{2}}{6k_{\text{r}}} \quad\Rightarrow\quad T(a)=T(0)-\frac{\dot{q}\,a^{2}}{6k_{\text{r}}}.
Calculemos o termo:
a^{2}=0{,}62^{2}=0{,}3844, \qquad \frac{\dot{q}\,a^{2}}{6k_{\text{r}}}=\frac{10^{3}\cdot 0{,}3844}{6\cdot 0{,}7} =\frac{384{,}4}{4{,}2}\approx 91{,}524\\ \mathrm{K}.
Assim
T(a)=1000\\ \mathrm{K}-91{,}524\\ \mathrm{K}=908{,}476\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Queda de temperatura através da casca de aço (entre r_1=a=0{,}62 m e r_2=0{,}70 m). Usamos
\Delta T_{\text{aço}}=T(a)-T(r_{s,ext})=\frac{Q}{4\pi k_{\text{aço}}}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{r_{s,ext}}\right).çç
Calculemos as partes:
\frac{1}{a}-\frac{1}{r_{s,ext}}=\frac{1}{0{,}62}-\frac{1}{0{,}70}\approx 1{,}612903-1{,}428571=0{,}184332.
\frac{Q}{4\pi k_{\text{aço}}}=\frac{998{,}3}{4\pi\cdot 32}=\frac{998{,}3}{128\pi}\approx 2{,}4819\\ \mathrm{K\cdot m}.ç
Portanto
\Delta T_{\text{aço}}\approx 2{,}4819\cdot 0{,}184332 \approx 0{,}458\\ \mathrm{K}.ç
Logo a temperatura na superfície externa do aço (que é a superfície interna da manta) é
T(r_{s,ext})=T(a)-\Delta T_{\text{aço}}=908{,}476-0{,}458\approx 908{,}018\\ \mathrm{K}.ç

Passo 7

Queda de temperatura através da manta isolante (entre r_1=r_{s,ext}=0{,}70 m e r_2=r_{m,ext}=1{,}05 m):
\Delta T_{\text{manta}}=T(r_{s,ext})-T(r_{m,ext}) =\frac{Q}{4\pi k_{\text{m}}}\left(\frac{1}{r_{s,ext}}-\frac{1}{r_{m,ext}}\right).
Calculemos:
\frac{1}{r_{s,ext}}-\frac{1}{r_{m,ext}}=\frac{1}{0{,}70}-\frac{1}{1{,}05}\approx 1{,}428571-0{,}952381=0{,}476190.
\frac{Q}{4\pi k_{\text{m}}}=\frac{998{,}3}{4\pi\cdot 0{,}08}=\frac{998{,}3}{0{,}32\pi}\approx 992{,}74\\ \mathrm{K\cdot m}.
Portanto
\Delta T_{\text{manta}}\approx 992{,}74\cdot 0{,}476190 \approx 472{,}73\\ \mathrm{K}.
Assim a temperatura na superfície externa da manta (aquela que faz contato com o solo), T(r_{m,ext}), é
T(r_{m,ext})=T(r_{s,ext})-\Delta T_{\text{manta}} \approx 908{,}018-472{,}73\approx 435{,}288\\ \mathrm{K}.

Passo 8

Propagação da temperatura no solo entre r_{m,ext}=1{,}05\\ \mathrm{m} e a superfície r_{\text{superf}}=5{,}0\\ \mathrm{m}.
Usamos a expressão para queda de temperatura no solo em regime estacionário:
T(r_{\text{superf}})=T(r_{m,ext})+\frac{Q}{4\pi k_{\text{solo}}}\left(\frac{1}{r_{\text{superf}}}-\frac{1}{r_{m,ext}}\right).
Calculemos os termos numéricos:
\frac{1}{r_{\text{superf}}}-\frac{1}{r_{m,ext}}=\frac{1}{5{,}0}-\frac{1}{1{,}05}=0{,}2-0{,}952381=-0{,}752381.
\frac{Q}{4\pi k_{\text{solo}}}=\frac{998{,}3}{4\pi\cdot 0{,}4}=\frac{998{,}3}{1{,}6\pi}\approx 198{,}55\\ \mathrm{K\cdot m}.
Portanto a contribuição do solo entre as duas superfícies é
\frac{Q}{4\pi k_{\text{solo}}}\left(\frac{1}{r_{\text{superf}}}-\frac{1}{r_{m,ext}}\right)\approx 198{,}55\cdot(-0{,}752381)\approx -149{,}45\\ \mathrm{K}.
Finalmente:
T(r_{\text{superf}})=435{,}288-149{,}45\approx 285{,}84\\ \mathrm{K}.

Passo 9

Interpretação final e conversão para Celsius (opcional para intuição):
T_{\text{superf}}\approx 285{,}84\\ \mathrm{K}\approx 285{,}84-273{,}15=12{,}69\\ ^\circ\mathrm{C}\approx 12{,}7^\circ\mathrm{C}.

Resposta

T_{\text{superf}} \approx 285{,}8\\ \mathrm{K}\\ (\approx 12{,}7^\circ\mathrm{C})

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