QUESTÃO (VALOR: 3 PONTOS)
Rejeitos radioativos (
) são enterrados no solo (
) a uma profundidade
, em um recipiente esférico de aço inoxidável (
), de
de diâmetro de externo e 8 cm de parede. Tal esfera possui ainda, um revestimento de 35 cm de uma manta isolante (
). Sabendo que calor é gerado no interior dos rejeitos a uma taxa volumétrica uniforme de
e que a temperatura no centro dos rejeitos é de 1000 K , determine a temperatura na superfície do solo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Dados geométricos e condutividades (peguei todos estes valores do enunciado):
- diâmetro externo da esfera de aço:
raio externo da casca de aço . - espessura da parede de aço:
raio interno da casca (raio do volume dos rejeitos) . - manta isolante de espessura
colocada externamente: raio externo da manta . - profundidade do centro da esfera em relação à superfície do solo:
. Portanto a distância do centro até a superfície é .
- diâmetro externo da esfera de aço:
- Condutividades térmicas:
- rejeitos (meio interno):
. - solo:
. - aço inoxidável:
. - manta isolante:
.
- rejeitos (meio interno):
- Geração volumétrica uniforme no interior dos rejeitos:
-
.
-
- Temperatura no centro dos rejeitos:
-
.
-
O que se pede:
- Determinar a temperatura na superfície do solo (temperatura no ponto da superfície diretamente acima do centro da esfera), isto é
.
Passo 2
Plano de solução e fórmulas que vamos usar (explicando o porquê):
- Em regime estacionário, toda a potência gerada no volume interno sai radialmente para o exterior. A potência total gerada é
- A distribuição de temperatura dentro de uma esfera sólida com geração volumétrica uniforme e condutividade
é, para ,
Em particular, a temperatura central
. Isso nos permite obter a temperatura na superfície interna
a partir de
.
- Para condução radial estacionária através de uma casca esférica de condutividade
entre raios e (com fluxo total ), a queda de temperatura é
Essa fórmula é análoga à lei de Ohm em resistência térmica de casca esférica.
- Para o solo exterior (meio extenso), a solução externa a uma esfera com geração uniforme no interior (isto é, para
) tem a forma
onde
é a temperatura a larga distância. Podemos usar continuidade de temperatura na fronteira entre manta e solo (em
) — isto fornece relação entre
e a temperatura obtida através das resistências internas — e então calcular
. Na prática fica conveniente usar a expressão para queda de temperatura no solo entre
e
:
- Resumindo: calcular
, obter a partir de , aplicar quedas de temperatura pela casca de aço e pela manta para obter , e por fim propagar essa temperatura até a superfície usando a expressão acima para o solo.
Passo 3
Calcular os raios (já parcialmente listados) e reafirmar valores numéricos que usaremos:
Passo 4
Calcular a potência total gerada
:
Substituindo:
(Arredondei para uma casa decimal onde conveniente; unidades em
.)
Passo 5
Determinar a temperatura na superfície interna da esfera de rejeitos
usando a relação da esfera com geração:
Calculemos o termo:
Assim
Passo 6
Queda de temperatura através da casca de aço (entre
m e
m). Usamos
Calculemos as partes:
Portanto
Logo a temperatura na superfície externa do aço (que é a superfície interna da manta) é
Passo 7
Queda de temperatura através da manta isolante (entre
m e
m):
Calculemos:
Portanto
Assim a temperatura na superfície externa da manta (aquela que faz contato com o solo),
, é
Passo 8
Propagação da temperatura no solo entre
e a superfície
.
Usamos a expressão para queda de temperatura no solo em regime estacionário:
Calculemos os termos numéricos:
Portanto a contribuição do solo entre as duas superfícies é
Finalmente:
Passo 9
Interpretação final e conversão para Celsius (opcional para intuição):